Ύπαρξιακό

Συντονιστής: R BORIS

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 508
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ύπαρξιακό

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Οκτ 17, 2019 9:35 pm

Να δείξετε ότι υπάρχει x_0\in (0,1) τέτοιο, ώστε \displaystyle \int_{0}^{1}e^{x_{0}^{2}+x^2}dx>\frac{11}{5}e^{x_{0}^{2}}-1.

Από Παύλος Τρύφων-Αντρέας Πάτσης
τελευταία επεξεργασία από Λάμπρος Κατσάπας σε Δευ Νοέμ 04, 2019 9:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 508
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ύπαρξιακό

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Οκτ 20, 2019 1:43 pm

Επαναφορά.


Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 909
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Ύπαρξιακό

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Κυρ Οκτ 20, 2019 2:51 pm

Γεια σας συνονόματε.
Το x_{0}=\sqrt{ln\frac{14}{13}} μας κάνει. Η ζητούμενη ισοδύναμα γίνεται

\frac{14}{13} \int_{0}^{1} e^{x^{2}}dx>\frac{89}{65} \Leftrightarrow

 \int_{0}^{1} e^{x^{2}}dx > \frac{89}{70}

που ισχύει αφού

\int_{0}^{1} e^{x^{2}} dx > \int_{0}^{1}(x^{2}+1)dx= \frac{4}{3} > \frac{89}{70}.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2620
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ύπαρξιακό

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 02, 2019 12:31 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Πέμ Οκτ 17, 2019 9:35 pm
Να δείξετε ότι υπάρχει x_0\in (0,1) τέτοιο, ώστε \displaystyle \int_{0}^{1}e^{x_{0}^{2}+x^2}dx>\frac{11}{5}e^{x_{0}^{2}}-1.
Για να δούμε και μία ''φυσιολογική'' λύση που βρίσκει όλα τα  x_{0}

Η σχέση γράφεται

\displaystyle e^{-x_{0}^{2}}> \frac{11}{5}-\int_{0}^{1}e^{x^2}dx=a

Επειδή είναι

0\leq x\leq 1\Rightarrow 1+x^{2}\leq e^{x^{2}}\leq e^{x}

oλοκληρώνοντας παίρνουμε ότι

0< 3-e+\frac{1}{5}< a< \frac{13}{15}< 1

Αρα λύνοντας βρίσκουμε ότι

0\leq x_{0}<\sqrt{-\ln a}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες