Βρείτε τον τύπο της f (2η)

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Βρείτε τον τύπο της f (2η)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Τρί Σεπ 07, 2010 5:32 pm

Ακόμα μία άσκηση από τη συλλογή του Ροδόλφου Μπόρη

Αν \displaystyle{f(2x)=\big(f(x)\big)^4,\,\,f(x)>0} και f συνεχής για κάθε x\in \mathbb R ,να βρείτε τον τύπο της.


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6186
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Βρείτε τον τύπο της f (2η)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Σεπ 07, 2010 5:53 pm

Για ευκολία θέτουμε \displaystyle{g(x)=\ln f(x).}

Τότε η σχέση γράφεται \displaystyle{g(2x)=4g(x).}

Ύστερα αποδεικνύουμε (με επαγωγή)ότι

\displaystyle{g(nx)=n^2 g(x),} για n φυσικό.

Μετά, αποδεικνύουμε ότι \displaystyle{g(x)=k x^2, k=g(1)} για όλα τα ρητά x. Λόγω συνέχειας, η προηγούμενη σχέση θα ισχύει και για όλους τους πραγματικούς x.

Άρα τελικά είναι g(x)=g(1)x^2 και επομένως f(x)=e^{kx^2}=(f(1))^{x^2}.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Βρείτε τον τύπο της f (2η)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Τρί Σεπ 07, 2010 9:44 pm

matha έγραψε:Για ευκολία θέτουμε \displaystyle{g(x)=\ln f(x).}

Τότε η σχέση γράφεται \displaystyle{g(2x)=4g(x).}

Ύστερα αποδεικνύουμε (με επαγωγή)ότι

\displaystyle{g(nx)=n^2 g(x),} για n φυσικό.

Μετά, αποδεικνύουμε ότι \displaystyle{g(x)=k x^2, k=g(1)} για όλα τα ρητά x. Λόγω συνέχειας, η προηγούμενη σχέση θα ισχύει και για όλους τους πραγματικούς x.

Άρα τελικά είναι g(x)=g(1)x^2 και επομένως f(x)=e^{kx^2}=(f(1))^{x^2}.
Θάνο ,θα μπορούσες να γράψεις λίγο πιο αναλυτικά τις σκέψεις σου ;

Σε ευχαριστώ πολύ :)


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6186
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Βρείτε τον τύπο της f (2η)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Σεπ 08, 2010 10:10 am

Φωτείνη, μάλλον βιάστηκα. Απ'ό,τι βλέπω υπάρχουν κενά στον ισχυρισμό μου.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2209
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τον τύπο της f (2η)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Νοέμ 26, 2011 4:24 pm

matha έγραψε:Για ευκολία θέτουμε \displaystyle{g(x)=\ln f(x).}

Τότε η σχέση γράφεται \displaystyle{g(2x)=4g(x).}

Ύστερα αποδεικνύουμε (με επαγωγή)ότι

\displaystyle{g(nx)=n^2 g(x),} για n φυσικό.

Μετά, αποδεικνύουμε ότι \displaystyle{g(x)=k x^2, k=g(1)} για όλα τα ρητά x. Λόγω συνέχειας, η προηγούμενη σχέση θα ισχύει και για όλους τους πραγματικούς x.

Άρα τελικά είναι g(x)=g(1)x^2 και επομένως f(x)=e^{kx^2}=(f(1))^{x^2}.

ΖΗΤΩ ΣΥΓΝΩΜΗ υπάρχει τυπογραφικό η άσκηση έπρεπε να λέει \displaystyle{f''} συνεχής στο ...

Ρ.Μ


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2209
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τον τύπο της f (2η)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Πέμ Φεβ 13, 2020 8:03 pm

\displaystyle{g''(2x)=g''(x)\Rightarrow g"(x)=g''(x/2^n)\Rightarrow \lim_{n\to +\infty} g''(x)=g''(0)\Rightarrow} \displaystyle{g''(x)=g''(0)}...


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2785
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Βρείτε τον τύπο της f (2η)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Φεβ 14, 2020 2:46 pm

Φωτεινή έγραψε:
Τρί Σεπ 07, 2010 5:32 pm
Ακόμα μία άσκηση από τη συλλογή του Ροδόλφου Μπόρη

Αν \displaystyle{f(2x)=\big(f(x)\big)^4,\,\,f(x)>0} και f συνεχής για κάθε x\in \mathbb R ,να βρείτε τον τύπο της.
Θα μπορούσε να διατυπωθεί και ως εξής:



Περιγράψτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις ώστε

\displaystyle{f(2x)=\big(f(x)\big)^4 για κάθε x\in \mathbb R

Ετσι διατυπωμένη, υπάρχουν ''πολλές'' συναρτήσεις που μπορούμε όμως να τις ''περιγράψουμε''


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης