Μονοτονία και ακρότατα

paylos · #1

Στο συνημένο δίνω μια άσκηση που νομίζω ότι έχει κάποιο ενδιαφέρον.

giannisn1990 · #2

Με τον ορισμό :

Αν $\displaystyle x_{1},x_{2}>0$ τότε $x_{1}<x_{2}\Rightarrow 1+x_{1}^{2}<1+x_{2}^{2},...,1+x_{1}^{200}<1+x_{2}^{200} \Rightarrow(1+x_{1}^{2})\cdot ...\cdot (1+x_{1}^{200})<(1+x_{2}^{2})\cdot ...\cdot (1+x_{2}^{200})$
Άρα f γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle [0,\infty]$ .Όμοια f γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle [-\infty,0]$ .Συνεπώς η f έχει ολικό ελάχιστο $\displaystyle f_{min}=f(0)=1$

#3

Με παραγώγους:
$f` \left( x \right) = 2x\left( {1 + x^4 } \right) \cdot \;...\;\left( {1 + x^{200} } \right) + \;4x^3 \left( {1 + x^2 } \right) \cdot \;...\;\left( {1 + x^{200} } \right) + 6x^5 \left( {1 + x^2 } \right) \cdot \left( {1 + x^4 } \right) \cdot \left( {1 + x^8 } \right) \cdot \;...\;\left( {1 + x^{200} } \right) + \;...\; + 200x^{199} \left( {1 + x^2 } \right) \cdot \;...\;\left( {1 + x^{198} } \right)$

$= x\left[ {2\left( {1 + x^4 } \right) \cdot \;...\;\left( {1 + x^{200} } \right) + \;4x^2 \left( {1 + x^2 } \right) \cdot \;...\;\left( {1 + x^{200} } \right) + 6x^4 \left( {1 + x^2 } \right) \cdot \;...\;\left( {1 + x^{200} } \right) + \;...\; + 200x^{198} \left( {1 + x^2 } \right) \cdot \;...\;\left( {1 + x^{198} } \right)} \right]$

Η αγκύλη είναι θετικός αριθμός για κάθε x, οπότε
f γν. φθίνουσα για $x \in \left( { - \infty ,\;0} \right]$ , f γν. αύξουσα για $x \in \left[ {0,\; + \infty } \right)$ , έχει ελάχιστο τοf(0)=1.

Δίχως παραγώγους:
Προφανώς, για κάθε x είναι $1 + x^{2\kappa } \ge 1$ , κ ακέραιος, άρα $\prod\limits_{i = 1}^{100} {\left( {1 + x^{2i} } \right) \ge 1 = f\left( 0 \right)}$ , δίχως μελέτη μονοτονίας..

edit: Έσβησα από τη λύση μία άστοχη προσθήκη που είχα κάνει... Λεωνίδα ευχαριστώ!

Ρίζος Γιώργος

#4

Mια άλλη προσέγγιση....
Είναι f(x)>0, για κάθε χ πραγματικό...(αφού $\displaystyle{\displaystyle \left( {1 + x^{2k} } \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R} }$ )
Παίρνοντας λογάριθμους και στα δύο μέλη προκύπτει
$\displaystyle{\displaystyle \ln f(x) = \ln (1 + x^2 ) + \ln (1 + x^4 ) + ... + \ln (1 + x^{200} )(1) }$ .
Παραγωγίζοντας την (1) (f συνεχής και παραγωγίσιμη, αλλά και lnx παραγωγίσιμη), παίρνουμε:
$\displaystyle{\displaystyle \frac{{f^{\prime}(x)}} {{f(x)}} = \frac{{2x}} {{1 + x^2 }} + \frac{{4x^3 }} {{1 + x^4 }} + .... + \frac{{200x^{199} }} {{1 + x^{200} }} \Leftrightarrow f^{\prime}(x) = xf(x)\left( {\frac{2} {{1 + x^2 }} + \frac{{4x^2 }} {{1 + x^4 }} + ....\frac{{200x^{198} }} {{1 + x^{200} }}} \right) }$
Έχουμε f'(x)=0 <=> x=0 (αφού f(x)>0 και η παρένθεση θετική για κάθε χ)
f'(x)>0 <=> x>0 (αρα η f γνήσια αύξουσα στο [0,+00) )
f'(x)<0 <=> x<0 (αρα f γνήσια φθίνουσα στο (-00,ο] )
Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο χ=0, το f(0)=1.

paylos · #5

Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις που δώσατε. Η λύση του Χρήστου βέβαια είναι πιο κομψή και αποτελεί ένα εργαλείο για να "σπάσουμε" το γινόμενο ώστε να παραγωγίζεται εύκολα.

Μονοτονία και ακρότατα

Μονοτονία και ακρότατα

Re: Μονοτονία και ακρότατα

Re: Μονοτονία και ακρότατα

Re: Μονοτονία και ακρότατα

Re: Μονοτονία και ακρότατα

Μέλη σε σύνδεση