Θέλω βοήθεια σε δύο ασκήσεις!!!

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

solon28
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 04, 2009 2:22 am

Θέλω βοήθεια σε δύο ασκήσεις!!!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από solon28 » Σάβ Μαρ 21, 2009 4:58 pm

Άσκηση 1

Οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο R με συνεχείς παραγώγους και για κάθε xεR ισχύει: \left[f 
^{\prime}(x)-g(x) \right]^{2}+\left[f(x)+g^{\prime}(x) \right]^{2}=0 . Να αποδείξετε ότι:
α) Υπάρχουν οι συναρτήσεις f'' και g'' και είναι συνεχείς
β) Ισχύει f''(x)+f(x)=0 και g''(x)+g(x)=0
γ) Η συνάρτηση h(x)=f^{2}(x)+g^{2}(x) είναι σταθερή.
δ) Αν x1,x2 είναι ρίζες της f και f(x)\neq 0 για κάθε xε(x1,x2) τότε η g έχει μοναδική ρίζα στο (x1,x2).

Άσκηση 2

Έστω η συνάρτηση f: R -> R η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει
f(x)\preceq e^{x}+ln(x^{2}+1) για κάθε xεR. Να βρείτε την εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της Α(0,1).
Συνημμένα
2.doc
(31.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 111 φορές
τελευταία επεξεργασία από solon28 σε Σάβ Μαρ 21, 2009 5:26 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Θέλω βοήθεια σε δύο ασκήσεις!!!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Μαρ 21, 2009 5:18 pm

Καλησπέρα
Για την 2, είναι εφαρμογή του θεωρήματος Φερματ στην g(x)=f(x)-e^x-ln(x^2+1) βγαίνει f΄(0)=1 οπότε y=x+1


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Θέλω βοήθεια σε δύο ασκήσεις!!!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Μαρ 21, 2009 5:37 pm

solon28 έγραψε:Άσκηση 1

Οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο R με συνεχείς παραγώγους και για κάθε xεR ισχύει: \left[f 
^{\prime}(x)-g(x) \right]^{2}+\left[f(x)+g^{\prime}(x) \right]^{2}=0 . Να αποδείξετε ότι:
α) Υπάρχουν οι συναρτήσεις f'' και g'' και είναι συνεχείς
β) Ισχύει f''(x)+f(x)=0 και g''(x)+g(x)=0
γ) Η συνάρτηση h(x)=f^{2}(x)+g^{2}(x) είναι σταθερή.
δ) Αν x1,x2 είναι ρίζες της f και f(x)\neq 0 για κάθε xε(x1,x2) τότε η g έχει μοναδική ρίζα στο (x1,x2).

Άσκηση 2

Έστω η συνάρτηση f: R -> R η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει
f(x)\preceq e^{x}+ln(x^{2}+1) για κάθε xεR. Να βρείτε την εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της Α(0,1).
Για την 1
α) η δοσμένη ισχύει αν κα μόνο αν f΄(x)= g(x) και g΄(x)=-f(x) που σημαίνει ότι οι συναρτήσεις μας είναι 2 φορές παραγωγίσιμες με συνεχείς δεύτερες παραγώγους αφού οι πρώτες παράγωγοι είναι συνεχείς από υπόθεση
β) Βγαίνει από το α πολύ εύκολα
γ)h΄(x)=2f(x)f΄(x)+2g(x)g΄(x)=2f(x)g(x)-2f(x)g(x)=0 άρα σταθερή
δ)Ρολ στην f(x) sto [x1,x2] έτσι η f΄=g έχει τουλάχιστον μία ρίζα , υποθέτουμε, μία δεύτερη και κάνουμε Ρολ στην g. Συμπεραίνουμε ότι η g΄=-f έχει έχει τουλάχιστον μία ρίζα ανάμεσα στις ρίζες τις g άτοπο γιατί f<>0 στο (χ1,χ2). Οπότε έχουμε μοναδική ρίζα


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
solon28
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 04, 2009 2:22 am

Re: Θέλω βοήθεια σε δύο ασκήσεις!!!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από solon28 » Σάβ Μαρ 21, 2009 5:42 pm

Ευχαριστώ παρα πολύ για τις άμεσες λύσεις mathxl!


solon28
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 04, 2009 2:22 am

Re: Θέλω βοήθεια σε δύο ασκήσεις!!!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από solon28 » Σάβ Μαρ 21, 2009 5:44 pm

Θα ήθελα όμως μια πιο αναλυτική λύση για το α ερώτημα της άσκησης 1


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Θέλω βοήθεια σε δύο ασκήσεις!!!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Μαρ 21, 2009 5:56 pm

Το άθροισμα τετραγώνων κάνει μηδέν αν κάθε τετράγωνο ισούται με 0, αφού μηδενίσουμε τις βάσεις των τετραγώνων προκύπτουν οι σχέσεις που έχω γράψει. Παρατηρούμε ότι τα δεύτερα μέλη είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις άρα θα είναι και τα πρώτα μέλη. Έτσι΄οι συναρτήσεις μας είναι 2 φορές παραγωγίσιμες. Επειδή οι f΄, g΄ είνα συνεχείς άρα και οι δεύτερες παράγωγοι των συναρτήσεων μας θα είναι συνεχείς. Ελπίζω να σε καλύπτει


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
solon28
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 04, 2009 2:22 am

Re: Θέλω βοήθεια σε δύο ασκήσεις!!!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από solon28 » Σάβ Μαρ 21, 2009 6:28 pm

mathxl έγραψε:Το άθροισμα τετραγώνων κάνει μηδέν αν κάθε τετράγωνο ισούται με 0, αφού μηδενίσουμε τις βάσεις των τετραγώνων προκύπτουν οι σχέσεις που έχω γράψει. Παρατηρούμε ότι τα δεύτερα μέλη είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις άρα θα είναι και τα πρώτα μέλη. Έτσι΄οι συναρτήσεις μας είναι 2 φορές παραγωγίσιμες. Επειδή οι f΄, g΄ είνα συνεχείς άρα και οι δεύτερες παράγωγοι των συναρτήσεων μας θα είναι συνεχείς. Ελπίζω να σε καλύπτει

Να ρωτήσω κάτι! Όταν η f΄ είναι συνεχής τότε και η f΄΄ είναι συνεχής; Από που προκύπτει αυτό;


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Θέλω βοήθεια σε δύο ασκήσεις!!!

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Μαρ 21, 2009 7:30 pm

f΄΄=g΄ και g΄ συνεχής άρα και η f ΄΄


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
gberdmath
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 02, 2018 3:00 pm

Re: Θέλω βοήθεια σε δύο ασκήσεις!!!

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gberdmath » Πέμ Δεκ 06, 2018 10:05 pm

Μόνο με θεώρημα Φερμά θα την λύσεις


mathhom
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Τρί Ιουν 24, 2014 3:17 pm

Re: Θέλω βοήθεια σε δύο ασκήσεις!!!

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathhom » Πέμ Δεκ 06, 2018 10:24 pm

Είναι θέμα 1ης δέσμης 1995


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες