mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 17, 2025 11:34 am**

: Ημέρα πρασίνου.png (86.08 KiB) Προβλήθηκε 649 φορές

$\bigstar$ Σημείο

κινείται στην ακτίνα

, ημικυκλίου διαμέτρου AOB=2r

. Φέρω τμήμα $PS \perp AB$

και τμήμα : $PT \parallel AB$ , ( P , T

στο ημικύκλιο ) . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου APTS

.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 17, 2025 12:37 pm**

Μια διευκρίνιση θα ήθελα : Το

κινείται επί της

, άρα εννοείται ότι κάθε φορά φέρνω κάθετη από το

που τέμνει το ημικύκλιο στο

και μετά από το

φέρνεις παράλληλη στην

;

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 17, 2025 1:01 pm**

Ακριβώς .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 18, 2025 11:57 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 17, 2025 11:34 am
Ημέρα πρασίνου.png $\bigstar$ Σημείο κινείται στην ακτίνα , ημικυκλίου διαμέτρου . Φέρω τμήμα $PS \perp AB$

και τμήμα : $PT \parallel AB$ , ( στο ημικύκλιο ) . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου .

: Ημέρα πρασίνου.png (38.34 KiB) Προβλήθηκε 588 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 18, 2025 12:15 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 17, 2025 11:34 am
Ημέρα πρασίνου.png $\bigstar$ Σημείο κινείται στην ακτίνα , ημικυκλίου διαμέτρου . Φέρω τμήμα $PS \perp AB$

και τμήμα : $PT \parallel AB$ , ( στο ημικύκλιο ) . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου .

Ανάλυση.

Ζητώ το μέγιστο του αθροίσματος , $\left( {ASP} \right) + \left( {PST} \right) = U + V$ . Αλλά $U + V = \left( {APD} \right)$ .

Επι της ουσίας ζητώ πότε το εμβαδόν του ισοσκελούς τραπεζίου ABTP

γίνεται μέγιστο.

Το εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου ισούται με το ημιγινόμενο των ίσων πλευρών επί το ημίτονο της γωνίας της κορυφής του.

: Ημέρα πρασίνου_Ανάλυση_1.png (27.43 KiB) Προβλήθηκε 580 φορές

Αν $\theta < \omega$ θα είναι , $\left( {OPA} \right) > \left( {OTP} \right)$ (ενώ αν $\theta > \omega$ θα είναι , $\left( {OPA} \right) < \left( {OTP} \right)$ ) .

Έτσι το $\left( {ABTP} \right)$ γίνεται μέγιστο αν $\theta = \omega = 60^\circ$ , δηλαδή το ABTP

είναι κανονικό ημιεξάγωνο .

Τότε $\boxed{\theta = 60^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AP = r}$ ενώ $\boxed{{{\left( {ASTP} \right)}_{\max }} = \frac{3}{2}\left( {OPT} \right) = \frac{3}{2}\left( {\frac{1}{2}{r^2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{{3{r^2}\sqrt 3 }}{8}}$ ,

: Ημέρα πρασίνου_Κατασκευή.png (25.93 KiB) Προβλήθηκε 576 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 18, 2025 2:59 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 17, 2025 11:34 am
Ημέρα πρασίνου.png $\bigstar$ Σημείο κινείται στην ακτίνα , ημικυκλίου διαμέτρου . Φέρω τμήμα $PS \perp AB$

και τμήμα : $PT \parallel AB$ , ( στο ημικύκλιο ) . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι $\displaystyle x = r - \frac{y}{2} \Leftrightarrow y = 2(r - x)$ και με Π.Θ στο TOD:

: Ημέρα πρασίνου.β.png (46.74 KiB) Προβλήθηκε 564 φορές

$\displaystyle {h^2} = {r^2} - {\left( {\frac{y}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow h = \sqrt {2rx - {x^2}},$ οπότε $\displaystyle (APTS) = \frac{{x + y}}{2}h = \frac{{(2r - x)\sqrt {2rx - {x^2}} }}{2}$

Η συνάρτηση του εμβαδού έχει παράγωγο $\displaystyle \frac{{(r - 2x)\sqrt {x(2r - x)} }}{{2x}},$ απ' όπου παίρνουμε

$\boxed{{(APTS)_{\max }} = \frac{{3{r^2}\sqrt 3 }}{8}}$ όταν $\boxed{x=\frac{r}{2}}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 18, 2025 7:26 pm**

Καλησπέρα σε όλους.

: Ημέρα πρασίνου.png (86.08 KiB) Προβλήθηκε 539 φορές

Έστω

, οπότε $\displaystyle T\left( {\sigma \upsilon \nu \theta ,\;\eta \mu \theta } \right),\;P\left( { - \sigma \upsilon \nu \theta ,\eta \mu \theta } \right),S\left( { - \sigma \upsilon \nu \theta ,0} \right),\;A\left( { - 1,0} \right)$ , όπου $\displaystyle \theta = \widehat {BOT}$

Είναι $\displaystyle \left( {APTS} \right) = \frac{{\left( {\sigma \upsilon \nu \theta + 1} \right)\eta \mu \theta }}{2}$ , με $\theta \in \left [ 0,\frac{\pi}{2} \right ]$ , η οποία έχει μέγιστο για $\displaystyle \theta = \frac{\pi }{3}$ , όπως περιγράφεται στη γνωστή σχολική άσκηση.

: Μέγιστο εμβαδόν.jpg (99.4 KiB) Προβλήθηκε 539 φορές

ΣΧΟΛΙΟ: Για την πολύ ενδιαφέρουσα άσκηση 12 (σελ. 153) του σχολικού βιβλίου έχουμε αφιερώσει με τονΓιάννη Θωμαΐδη, αρκετές σελίδες στην ΟΔΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ (σσ. 240-247), με αναφορά, μεταξύ άλλων, στην εργασία του Νίκου Κλαουδάτου, αλλά και την προσέγγιση του Yakov Perelman.
Αν υπάρξει ενδιαφέρον, θα μπορούσαμε να δώσουμε περισσότερα στοιχεία σχετικά με το θέμα.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 19, 2025 12:36 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 17, 2025 11:34 am
Ημέρα πρασίνου.png $\bigstar$ Σημείο κινείται στην ακτίνα , ημικυκλίου διαμέτρου . Φέρω τμήμα $PS \perp AB$

και τμήμα : $PT \parallel AB$ , ( στο ημικύκλιο ) . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου .