mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 25, 2025 8:23 pm**

: Ασυναρτησία.png (14.42 KiB) Προβλήθηκε 1461 φορές

Στο ημικύκλιο διαμέτρου AOB=8

, κινείται σημείο

. Στην προέκταση της

, θεωρούμε σημείο

,

τέτοιο ώστε : (SOT)=8

. Δημιουργήστε συνάρτηση

, η οποία να αποδίδει το μήκος της πλευράς

και μελετήστε την !

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 26, 2025 10:27 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 25, 2025 8:23 pm
Ασυναρτησία.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου , κινείται σημείο . Στην προέκταση της , θεωρούμε σημείο ,

τέτοιο ώστε : . Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία να αποδίδει το μήκος της πλευράς

και μελετήστε την !

Έστω

και

το ύψος του τριγώνου SOT.

. Αν $TP\bot OS$ τότε προφανώς PT=4

και όταν το

γίνει εφαπτομένη του ημικυκλίου, τα σημεία T, P

θα συμπέσουν και το

θα πάρει τη μέγιστη τιμή $2\sqrt 2.$ Άρα, $0<x\le 2\sqrt 2.$

: Δημιουργία και μελέτη.α.png (15.18 KiB) Προβλήθηκε 1424 φορές

$\displaystyle DB = 4 - OD = 4 - \sqrt {16 - {x^2}} \Rightarrow S{T^2} = {x^2} + {\left( {4 - \sqrt {16 - {x^2}} + y} \right)^2}.$ Αλλά,

$\displaystyle x(y + 4) = 2(SOT) = 16 \Leftrightarrow y = \frac{{16 - 4x}}{x}$ και με αντικατάσταση, $\displaystyle S{T^2} = \frac{{16}}{{{x^2}}}\left( {{x^2} - 2x\sqrt {16 - {x^2}} + 16} \right)$

Θεωρώ λοιπόν τη συνάρτηση $\boxed{f(x) = ST = \frac{4}{x}\sqrt {{x^2} - 2x\sqrt {16 - {x^2}} + 16} ,0 < x \leqslant 2\sqrt 2 }$

: Δημιουργία και μελέτη.b.png (4.79 KiB) Προβλήθηκε 1424 φορές

$\displaystyle f'(x) = \frac{{64\left( {x - \sqrt {16 - {x^2}} } \right)}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} - 2x\sqrt {16 - {x^2}} + 16} \cdot \sqrt {16 - {x^2}} }},$ άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0, 2\sqrt 2]$

με ελάχιστη τιμή $\boxed{f(2\sqrt 2)=4},$ σύνολο τιμών $\displaystyle \left[ {4,\mathop {\lim f(x)}\limits_{x \to 0} } \right) = [4, + \infty )$ και κατακόρυφη ασύμπτωτη $\boxed{x=0}$

mathematica.gr

Δημιουργία και μελέτη

Δημιουργία και μελέτη

Re: Δημιουργία και μελέτη