Μελέτη Ορίου ΙΙ

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 28, 2024 10:16 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Μελέτη Ορίου ΙΙ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ιάσων Κωνσταντόπουλος » Σάβ Ιουν 22, 2024 7:33 pm

Δίνεται συνάρτηση f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

Αν γνωρίζουμε ότι \lim\limits_{x\to7}\dfrac{5f(x)^4+4f(x)}{f(x)^6+f(x)^2+1}=3

Να μελετηθεί το όριο \lim\limits_{x\to7}f(x)

Σημείωση
Για την f δεν γνωρίζουμε τίποτε επιπλέον π.χ. συνέχεια κ.λπ.
Επίσης δεν είναι δεδομένο ότι το υπό μελέτην όριο υπάρχει.


Ιάσων Κωνσταντόπουλος

Λέξεις Κλειδιά:
hazmatanything
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Τρί Οκτ 22, 2024 7:25 am

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hazmatanything » Τρί Οκτ 22, 2024 7:38 am

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε:
Σάβ Ιουν 22, 2024 7:33 pm
Δίνεται συνάρτηση f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

Αν γνωρίζουμε ότι \lim\limits_{x\to7}\dfrac{5f(x)^4+4f(x)}{f(x)^6+f(x)^2+1}=3

Να μελετηθεί το όριο \lim\limits_{x\to7}f(x)

Σημείωση
Για την f δεν γνωρίζουμε τίποτε επιπλέον π.χ. συνέχεια κ.λπ.
Επίσης δεν είναι δεδομένο ότι το υπό μελέτην όριο υπάρχει.
drift boss
Για να μελετήσουμε το όριο \lim_{x \to 7} f(x), ας ξεκινήσουμε από την δεδομένη σχέση:

\displaystyle{ 
\lim_{x \to 7} \frac{5f(x)^4 + 4f(x)}{f(x)^6 + f(x)^2 + 1} = 3 
}

Ας υποθέσουμε ότι το όριο \lim_{x \to 7} f(x) υπάρχει και είναι L. Τότε, μπορούμε να αντικαταστήσουμε f(x) με L στην παραπάνω σχέση:

\displaystyle{ 
\frac{5L^4 + 4L}{L^6 + L^2 + 1} = 3 
}

Αυτή η εξίσωση πρέπει να ισχύει για το L. Ας την λύσουμε:

1. **Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με το παρονομαστή**:
\displaystyle{ 
   5L^4 + 4L = 3(L^6 + L^2 + 1) 
   }

2. **Αναπτύσσουμε την εξίσωση**:
\displaystyle{ 
   5L^4 + 4L = 3L^6 + 3L^2 + 3 
   }

3. **Μεταφέρουμε όλα τα μέλη στην ίδια πλευρά**:
\displaystyle{ 
   3L^6 + 3L^2 + 3 - 5L^4 - 4L = 0 
   }

Αυτή είναι μια πολυωνυμική εξίσωση έκτης τάξης. Για να βρούμε τις ρίζες της, μπορούμε να δοκιμάσουμε διάφορες τιμές για το L:

- Αν L = 1:
\displaystyle{ 
  3(1)^6 + 3(1)^2 + 3 - 5(1)^4 - 4(1) = 3 + 3 + 3 - 5 - 4 = 0 
  }

Άρα, L = 1 είναι μια λύση της εξίσωσης.

Επομένως, το όριο \lim_{x \to 7} f(x) είναι πιθανό να είναι 1. Ωστόσο, χωρίς επιπλέον πληροφορίες για τη συνάρτηση f, δεν μπορούμε να είμαστε απόλυτα βέβαιοι ότι το όριο υπάρχει ή ότι δεν υπάρχουν άλλες λύσεις.


Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 28, 2024 10:16 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ιάσων Κωνσταντόπουλος » Τρί Οκτ 22, 2024 6:54 pm

hazmatanything έγραψε:
Τρί Οκτ 22, 2024 7:38 am
Επομένως, το όριο \lim_{x \to 7} f(x) είναι πιθανό να είναι 1. Ωστόσο, χωρίς επιπλέον πληροφορίες για τη συνάρτηση f, δεν μπορούμε να είμαστε απόλυτα βέβαιοι ότι το όριο υπάρχει ή ότι δεν υπάρχουν άλλες λύσεις.
Σε αυτό το σημείο, για να ολοκληρωθεί η άσκηση υπάρχουν δύο εκδοχές:

\color{red}\bullet είτε θα πρέπει να δοθεί παράδειγμα συνάρτησης f η οποία να ικανοποιεί την υπόθεση και για την οποία το όριο \lim\limits_{x\to7}f(x) να μην υπάρχει

\color{green}\bullet είτε θα πρέπει να αποδειχθεί ότι το \lim\limits_{x\to7}f(x) υπάρχει και να προσδιοριστούν οι αριθμοί που μπορούν να αποτελέσουν τιμές του.

Για τη συγκεκριμένη άσκηση ισχύει η δεύτερη


Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2388
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Πέμ Οκτ 24, 2024 10:04 am

Νομιζω οτι πρεπει να αποκλειστει και η περίπτωση \displaystyle{\lim_{x\to 7}f(x)=\pm \infty}} που είναι εύκολο Με μεγιστοβάθμιους καταλήγουμε \displaystyle{0=3}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3620
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Οκτ 24, 2024 11:08 am



Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 28, 2024 10:16 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ιάσων Κωνσταντόπουλος » Σάβ Οκτ 26, 2024 9:32 am

Σας ευχαριστώ όλους για τις παρεμβάσεις.

Συνοψίζοντας τις, έχουμε καταλήξει στο συμπέρασμα ότι για την τιμή του ορίου υπάρχει μοναδική εκδοχή (αριθμητική ή μη), το L=1

Αυτό που απομένει είναι να αποδειχθεί ότι το \lim\limits_{x\to7}f(x) όντως υπάρχει.


Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2388
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Δευ Οκτ 28, 2024 5:47 am

Aν δεν υπήρχε το όριο θa έπρεπε
να υπάρχουν 2 ακολουθίες \displaystyle{x_n,y_n} που να συγκλίνουν σε διαφορετικά όρια Ας τα πούμε \displaystyle{a,b} Αλλά η τιμή του \displaystyle{L} είναι μοναδική διοτι αν \displaystyle{3a^2(a+1)^2+(a+1)^2+3=0} ΤΟΤΕ \displaystyle{3=0} οπότε δεν ΜΠΟΡΕΊ \displaystyle{a\ne b} ΑΤΟΠΟ
υποψιάζομαι πως υπαρχει μικρο λογιστικο λαθακι \displaystyle{3a^2(a+1)^2+(a+1)^2-3=0}


abgd
Δημοσιεύσεις: 484
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Δευ Οκτ 28, 2024 7:10 pm

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε:
Σάβ Ιουν 22, 2024 7:33 pm
Δίνεται συνάρτηση f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

Αν γνωρίζουμε ότι \lim\limits_{x\to7}\dfrac{5f(x)^4+4f(x)}{f(x)^6+f(x)^2+1}=3

Να μελετηθεί το όριο \lim\limits_{x\to7}f(x)

Σημείωση
Για την f δεν γνωρίζουμε τίποτε επιπλέον π.χ. συνέχεια κ.λπ.
Επίσης δεν είναι δεδομένο ότι το υπό μελέτην όριο υπάρχει.
Αν
\displaystyle{g(x)=3-\frac{5f^4(x)+4f(x)}{f^6(x)+f^2(x)+1}=...=\left(f(x)-1\right)^2\cdot \frac{3f^4(x)+6f^3(x)+4f^2(x)+2f(x)+3}{f^6(x)+f^2(x)+1}=}

\displaystyle{=\left(f(x)-1\right)^2\cdot \frac{3f^4(x)+6f^3(x)+4f^2(x)+2f(x)+3}{5f^4(x)+4f(x)}\cdot \frac{5f^4(x)+4f(x)}{f^6(x)+f^2(x)+1}}}
τότε
\displaystyle{\left(f(x)-1\right)^2=\frac{g(x)}{3-g(x)}\cdot h\left(f(x)\right)}
και

\displaystyle{\left|f(x)-1\right|=\sqrt{\left|\frac{g(x)}{3-g(x)}\right|\cdot \left|h\left(f(x)\right)\right|} \leq \sqrt{\left|\frac{g(x)}{3-g(x)}\right|\cdot m}}

όπου m η μέγιστη τιμή της συνάρτησης \displaystyle {h(x)=\frac{5x^4+4x}{3x^4+6x^3+4x^2+2x+3}}

Εύκολα τώρα έχουμε: \lim\limits_{x\to7}f(x)=1

orio.png
orio.png (17.45 KiB) Προβλήθηκε 262 φορές


\mathbb{K}_{ostas}\sum{}
Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 28, 2024 10:16 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ιάσων Κωνσταντόπουλος » Τετ Οκτ 30, 2024 11:59 pm

R BORIS έγραψε:
Δευ Οκτ 28, 2024 5:47 am
Aν δεν υπήρχε το όριο θa έπρεπε
να υπάρχουν 2 ακολουθίες \displaystyle{x_n,y_n} που να συγκλίνουν σε διαφορετικά όρια Ας τα πούμε \displaystyle{a,b} Αλλά η τιμή του \displaystyle{L} είναι μοναδική διοτι αν \displaystyle{3a^2(a+1)^2+(a+1)^2+3=0} ΤΟΤΕ \displaystyle{3=0} οπότε δεν ΜΠΟΡΕΊ \displaystyle{a\ne b} ΑΤΟΠΟ
υποψιάζομαι πως υπαρχει μικρο λογιστικο λαθακι \displaystyle{3a^2(a+1)^2+(a+1)^2-3=0}
Νομίζω θέλετε να πείτε ότι με βάση τα όσα ειπώθηκαν μέχρι το ποστ #6
αν \lim\limits_{n\to+\infty}a_n=7 τότε η ακολουθία {f(a_n)} έχει μοναδικό οριακό σημείο το L=1 οπότε συγκλίνει στο L=1
Έπεται λοιπόν ότι το υπό μελέτην όριο θα πρέπει να υπάρχει και να είναι ίσο με L=1.

Αξίζει να κάνουμε μια επισήμανση: η (εκτός φακέλου) σύντομη αυτή αιτιολόγηση της ύπαρξης του ορίου βασίζεται στην ισοδυναμία του ορισμού του πραγματικού ορίου σε ένα σημείο με \epsilon,\delta και του ακολουθιακού ορισμού του πραγματικού ορίου σε ένα σημείο. Για την ισχύ αυτής της ισοδυναμίας είναι αναγκαίο το αξίωμα της επιλογής (https://math.stackexchange.com/question ... ect=1&lq=1).
Ωστόσο το υπό μελέτην όριο μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει χωρίς το αξίωμα της επιλογής
όπως μας δείχνει η (εντός φακέλου) λύση στο ποστ #8.

Σχετικά με την τελευταία, και για χάρην του φακέλου στον οποίον βρίσκεται η άσκηση, αξίζει να κάνουμε την ακόλουθη επισήμανση.
Για να χρησιμοποιηθεί το κριτήριο της παρεμβολής θα πρέπει η σχέση
abgd έγραψε:
Δευ Οκτ 28, 2024 7:10 pm

\displaystyle{\left(f(x)-1\right)^2=\frac{g(x)}{3-g(x)}\cdot h\left(f(x)\right)}
να ισχύει κοντά στο x_o=7.

Επειδή αυτή προκύπτει διαιρώντας με 3-g(x) κατά μέλη την για κάθε x\in\mathbb{R} ισχύουσα σχέση
g(x)\cdot h(f(x))=(f(x)-1)^2\cdot (3-g(x))

θα άξιζε ίσως τον κόπο να προσθέσει κανείς την εξήγηση για ποιον λόγο κοντά στο x_o=7 ισχύει 3-g(x)\ne0
με αποτέλεσμα να μπορούμε εν τέλει να διαιρέσουμε και να λάβουμε την επιθυμητή σχέση κοντά στο x_o=7


Ιάσων Κωνσταντόπουλος
abgd
Δημοσιεύσεις: 484
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Πέμ Οκτ 31, 2024 9:51 am

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε:
Τετ Οκτ 30, 2024 11:59 pm

θα άξιζε ίσως τον κόπο να προσθέσει κανείς την εξήγηση για ποιον λόγο κοντά στο x_o=7 ισχύει 3-g(x)\ne0
με αποτέλεσμα να μπορούμε εν τέλει να διαιρέσουμε και να λάβουμε την επιθυμητή σχέση κοντά στο x_o=7
Είναι \displaystyle{\lim_{x\to 7}{(3-g(x))}=3>0} οπότε για \displaystyle{x} κοντά στο \displaystyle{7} θα είναι 3-g(x)>0.

Αυτό που είναι δύσκολο να κάνει κάποιος, στην απόδειξη που παραθέτω, είναι η μελέτη των ακροτάτων της συνάρτησης h.

Θα ήταν διδακτικό σαν θέμα αν στη θέση της συνάρτησης h είχαμε μια "εύκολη" συνάρτηση.


\mathbb{K}_{ostas}\sum{}
Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 28, 2024 10:16 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ιάσων Κωνσταντόπουλος » Πέμ Οκτ 31, 2024 2:16 pm

abgd έγραψε:
Πέμ Οκτ 31, 2024 9:51 am
Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε:
Τετ Οκτ 30, 2024 11:59 pm

θα άξιζε ίσως τον κόπο να προσθέσει κανείς την εξήγηση για ποιον λόγο κοντά στο x_o=7 ισχύει 3-g(x)\ne0
με αποτέλεσμα να μπορούμε εν τέλει να διαιρέσουμε και να λάβουμε την επιθυμητή σχέση κοντά στο x_o=7
Είναι \displaystyle{\lim_{x\to 7}{(3-g(x))}=3>0} οπότε για \displaystyle{x} κοντά στο \displaystyle{7} θα είναι 3-g(x)>0.

Αυτό που είναι δύσκολο να κάνει κάποιος, στην απόδειξη που παραθέτω, είναι η μελέτη των ακροτάτων της συνάρτησης h.

Θα ήταν διδακτικό σαν θέμα αν στη θέση της συνάρτησης h είχαμε μια "εύκολη" συνάρτηση.
Όντως η μελέτη μονοτονίας/ακροτάτων της συνάρτησης h(x) δεν είναι υπολογιστικά φιλική. Μπορούμε να κάνουμε όμως κάτι που ίσως είναι καλύτερο.

Αν παρατηρήσει κανείς τη λύση, δεν χρειαζόμαστε λεπτομερή μελέτη ακροτάτων. Αρκεί να αποδείξουμε ότι η |h(x)| έχει ολικό μέγιστο (edit: αρκεί να δείξουμε ότι είναι άνω φραγμένη). Αυτό μπορεί να γίνει συντάσσοντας ένα ως επί το πλείστον θεωρητικό επιχείρημα με ελάχιστους υπολογισμούς το οποίο θα λαμβάνει υπ' όψιν τα όρια της h(x) στα \pm\infty και θα αξιοποιεί (με λίγη χειροτεχνία στο πεδίο ορισμού) καταλλήλως το θεώρημα μεγίστης και ελαχίστης τιμής.
τελευταία επεξεργασία από Ιάσων Κωνσταντόπουλος σε Πέμ Οκτ 31, 2024 6:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ιάσων Κωνσταντόπουλος
abgd
Δημοσιεύσεις: 484
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Πέμ Οκτ 31, 2024 5:39 pm

Με αφορμή τη δυσκολία της h, είχα σκεφτεί το εξής ενδιαφέρον...

Είναι \displaystyle{\lim_{x\to-\infty}{h(x)=\lim_{x\to +\infty}{h(x)=\dfrac{5}{3}}

Η συνάρτηση \displaystyle{s(x)=\left\{\begin{matrix}
 h(tanx), \ \ x\in \left(-\dfrac{\pi}{2}. \dfrac{\pi}{2}\right)  \\
 
\dfrac{5}{3}, \ \ x=-\dfrac{\pi}{2}, \ \ x=\dfrac{\pi}{2}  \\
\end{matrix}\right. είναι συνεχής στο \displaystyle{\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] και έτσι θα έχει μέγιστο και ελάχιστο.

Υπάρχουν δηλαδή πραγματικοί αριθμοί m,M έτσι ώστε: \displaystyle{m\leq h(tanx)\leq M, \ \ \forall x \in \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)}

και εφόσον το σύνολο τιμών της tanx είναι το \mathbb{R} , θα έχουμε: \displaystyle{m\leq h(x)\leq M, \ \ \forall x \in \mathbb{R}}


\mathbb{K}_{ostas}\sum{}
Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 28, 2024 10:16 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ιάσων Κωνσταντόπουλος » Πέμ Οκτ 31, 2024 7:03 pm

abgd έγραψε:
Πέμ Οκτ 31, 2024 5:39 pm
Με αφορμή τη δυσκολία της h, είχα σκεφτεί το εξής ενδιαφέρον...

Είναι \displaystyle{\lim_{x\to-\infty}{h(x)=\lim_{x\to +\infty}{h(x)=\dfrac{5}{3}}

Η συνάρτηση \displaystyle{s(x)=\left\{\begin{matrix} 
 h(tanx), \ \ x\in \left(-\dfrac{\pi}{2}. \dfrac{\pi}{2}\right)  \\ 
  
\dfrac{5}{3}, \ \ x=-\dfrac{\pi}{2}, \ \ x=\dfrac{\pi}{2}  \\ 
\end{matrix}\right. είναι συνεχής στο \displaystyle{\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] και έτσι θα έχει μέγιστο και ελάχιστο.

Υπάρχουν δηλαδή πραγματικοί αριθμοί m,M έτσι ώστε: \displaystyle{m\leq h(tanx)\leq M, \ \ \forall x \in \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)}

και εφόσον το σύνολο τιμών της tanx είναι το \mathbb{R} , θα έχουμε: \displaystyle{m\leq h(x)\leq M, \ \ \forall x \in \mathbb{R}}
:10sta10:
Πολύ κομψό και σύντομο, αυτό που είχα στο νου μου είχε περισσότερη φασαρία.

Εναλλακτικά για κάτι ακόμη πιο στοιχειώδες, αντί της \tan x θα μπορούσε κανείς να προτείνει την:
\dfrac{x}{1-x^2}, x\in (-1,1)

και να κατασκευάσει την αντίστοιχη s(x), x\in [-1,1]


Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης