Μελέτη Ορίου ΙΙ

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνεται συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

Αν γνωρίζουμε ότι $\lim\limits_{x\to7}\dfrac{5f(x)^4+4f(x)}{f(x)^6+f(x)^2+1}=3$

Να μελετηθεί το όριο $\lim\limits_{x\to7}f(x)$

Σημείωση
Για την

δεν γνωρίζουμε τίποτε επιπλέον π.χ. συνέχεια κ.λπ.
Επίσης δεν είναι δεδομένο ότι το υπό μελέτην όριο υπάρχει.

hazmatanything · #2

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 22, 2024 7:33 pm
Δίνεται συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

Αν γνωρίζουμε ότι $\lim\limits_{x\to7}\dfrac{5f(x)^4+4f(x)}{f(x)^6+f(x)^2+1}=3$

Να μελετηθεί το όριο $\lim\limits_{x\to7}f(x)$

Σημείωση
Drift Boss Για την δεν γνωρίζουμε τίποτε επιπλέον π.χ. συνέχεια κ.λπ.
Επίσης δεν είναι δεδομένο ότι το υπό μελέτην όριο υπάρχει.

Για να μελετήσουμε το όριο $\lim_{x \to 7} f(x)$ , ας ξεκινήσουμε από την δεδομένη σχέση:

$\displaystyle{ \lim_{x \to 7} \frac{5f(x)^4 + 4f(x)}{f(x)^6 + f(x)^2 + 1} = 3 }$

Ας υποθέσουμε ότι το όριο $\lim_{x \to 7} f(x)$ υπάρχει και είναι

. Τότε, μπορούμε να αντικαταστήσουμε f(x)

με

στην παραπάνω σχέση:

$\displaystyle{ \frac{5L^4 + 4L}{L^6 + L^2 + 1} = 3 }$

Αυτή η εξίσωση πρέπει να ισχύει για το

. Ας την λύσουμε:

1. **Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με το παρονομαστή**:
$\displaystyle{ 5L^4 + 4L = 3(L^6 + L^2 + 1) }$

2. **Αναπτύσσουμε την εξίσωση**:
$\displaystyle{ 5L^4 + 4L = 3L^6 + 3L^2 + 3 }$

3. **Μεταφέρουμε όλα τα μέλη στην ίδια πλευρά**:
$\displaystyle{ 3L^6 + 3L^2 + 3 - 5L^4 - 4L = 0 }$

Αυτή είναι μια πολυωνυμική εξίσωση έκτης τάξης. Για να βρούμε τις ρίζες της, μπορούμε να δοκιμάσουμε διάφορες τιμές για το

:

- Αν

:
$\displaystyle{ 3(1)^6 + 3(1)^2 + 3 - 5(1)^4 - 4(1) = 3 + 3 + 3 - 5 - 4 = 0 }$

Άρα, L = 1

είναι μια λύση της εξίσωσης.

Επομένως, το όριο $\lim_{x \to 7} f(x)$ είναι πιθανό να είναι

. Ωστόσο, χωρίς επιπλέον πληροφορίες για τη συνάρτηση

, δεν μπορούμε να είμαστε απόλυτα βέβαιοι ότι το όριο υπάρχει ή ότι δεν υπάρχουν άλλες λύσεις.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

hazmatanything έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 22, 2024 7:38 am
Επομένως, το όριο $\lim_{x \to 7} f(x)$ είναι πιθανό να είναι . Ωστόσο, χωρίς επιπλέον πληροφορίες για τη συνάρτηση , δεν μπορούμε να είμαστε απόλυτα βέβαιοι ότι το όριο υπάρχει ή ότι δεν υπάρχουν άλλες λύσεις.

Σε αυτό το σημείο, για να ολοκληρωθεί η άσκηση υπάρχουν δύο εκδοχές:

$\color{red}\bullet$ είτε θα πρέπει να δοθεί παράδειγμα συνάρτησης

η οποία να ικανοποιεί την υπόθεση και για την οποία το όριο $\lim\limits_{x\to7}f(x)$ να μην υπάρχει

$\color{green}\bullet$ είτε θα πρέπει να αποδειχθεί ότι το $\lim\limits_{x\to7}f(x)$ υπάρχει και να προσδιοριστούν οι αριθμοί που μπορούν να αποτελέσουν τιμές του.

Για τη συγκεκριμένη άσκηση ισχύει η δεύτερη

#4

Νομιζω οτι πρεπει να αποκλειστει και η περίπτωση $\displaystyle{\lim_{x\to 7}f(x)=\pm \infty}}$ που είναι εύκολο Με μεγιστοβάθμιους καταλήγουμε $\displaystyle{0=3}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #6

Σας ευχαριστώ όλους για τις παρεμβάσεις.

Συνοψίζοντας τις, έχουμε καταλήξει στο συμπέρασμα ότι για την τιμή του ορίου υπάρχει μοναδική εκδοχή (αριθμητική ή μη), το L=1

Αυτό που απομένει είναι να αποδειχθεί ότι το $\lim\limits_{x\to7}f(x)$ όντως υπάρχει.

#7

Aν δεν υπήρχε το όριο θa έπρεπε
να υπάρχουν 2 ακολουθίες $\displaystyle{x_n,y_n}$ που να συγκλίνουν σε διαφορετικά όρια Ας τα πούμε $\displaystyle{a,b}$ Αλλά η τιμή του $\displaystyle{L}$ είναι μοναδική διοτι αν $\displaystyle{3a^2(a+1)^2+(a+1)^2+3=0}$ ΤΟΤΕ $\displaystyle{3=0}$ οπότε δεν ΜΠΟΡΕΊ $\displaystyle{a\ne b}$ ΑΤΟΠΟ
υποψιάζομαι πως υπαρχει μικρο λογιστικο λαθακι $\displaystyle{3a^2(a+1)^2+(a+1)^2-3=0}$

abgd · #8

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 22, 2024 7:33 pm
Δίνεται συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

Αν γνωρίζουμε ότι $\lim\limits_{x\to7}\dfrac{5f(x)^4+4f(x)}{f(x)^6+f(x)^2+1}=3$

Να μελετηθεί το όριο $\lim\limits_{x\to7}f(x)$

Σημείωση
Για την δεν γνωρίζουμε τίποτε επιπλέον π.χ. συνέχεια κ.λπ.
Επίσης δεν είναι δεδομένο ότι το υπό μελέτην όριο υπάρχει.

Αν
$\displaystyle{g(x)=3-\frac{5f^4(x)+4f(x)}{f^6(x)+f^2(x)+1}=...=\left(f(x)-1\right)^2\cdot \frac{3f^4(x)+6f^3(x)+4f^2(x)+2f(x)+3}{f^6(x)+f^2(x)+1}=}$

$\displaystyle{=\left(f(x)-1\right)^2\cdot \frac{3f^4(x)+6f^3(x)+4f^2(x)+2f(x)+3}{5f^4(x)+4f(x)}\cdot \frac{5f^4(x)+4f(x)}{f^6(x)+f^2(x)+1}}}$
τότε
$\displaystyle{\left(f(x)-1\right)^2=\frac{g(x)}{3-g(x)}\cdot h\left(f(x)\right)}$
και

$\displaystyle{\left|f(x)-1\right|=\sqrt{\left|\frac{g(x)}{3-g(x)}\right|\cdot \left|h\left(f(x)\right)\right|} \leq \sqrt{\left|\frac{g(x)}{3-g(x)}\right|\cdot m}}$

όπου

η μέγιστη τιμή της συνάρτησης $\displaystyle {h(x)=\frac{5x^4+4x}{3x^4+6x^3+4x^2+2x+3}}$

Εύκολα τώρα έχουμε: $\lim\limits_{x\to7}f(x)=1$

: orio.png (17.45 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #9

R BORIS έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 28, 2024 5:47 am
Aν δεν υπήρχε το όριο θa έπρεπε
να υπάρχουν 2 ακολουθίες $\displaystyle{x_n,y_n}$ που να συγκλίνουν σε διαφορετικά όρια Ας τα πούμε $\displaystyle{a,b}$ Αλλά η τιμή του $\displaystyle{L}$ είναι μοναδική διοτι αν $\displaystyle{3a^2(a+1)^2+(a+1)^2+3=0}$ ΤΟΤΕ $\displaystyle{3=0}$ οπότε δεν ΜΠΟΡΕΊ $\displaystyle{a\ne b}$ ΑΤΟΠΟ
υποψιάζομαι πως υπαρχει μικρο λογιστικο λαθακι $\displaystyle{3a^2(a+1)^2+(a+1)^2-3=0}$

Νομίζω θέλετε να πείτε ότι με βάση τα όσα ειπώθηκαν μέχρι το ποστ #6
αν $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=7$ τότε η ακολουθία ${f(a_n)}$ έχει μοναδικό οριακό σημείο το L=1

οπότε συγκλίνει στο L=1

Έπεται λοιπόν ότι το υπό μελέτην όριο θα πρέπει να υπάρχει και να είναι ίσο με L=1

.

Αξίζει να κάνουμε μια επισήμανση: η (εκτός φακέλου) σύντομη αυτή αιτιολόγηση της ύπαρξης του ορίου βασίζεται στην ισοδυναμία του ορισμού του πραγματικού ορίου σε ένα σημείο με $\epsilon,\delta$ και του ακολουθιακού ορισμού του πραγματικού ορίου σε ένα σημείο. Για την ισχύ αυτής της ισοδυναμίας είναι αναγκαίο το αξίωμα της επιλογής (https://math.stackexchange.com/question ... ect=1&lq=1).
Ωστόσο το υπό μελέτην όριο μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει χωρίς το αξίωμα της επιλογής
όπως μας δείχνει η (εντός φακέλου) λύση στο ποστ #8.

Σχετικά με την τελευταία, και για χάρην του φακέλου στον οποίον βρίσκεται η άσκηση, αξίζει να κάνουμε την ακόλουθη επισήμανση.
Για να χρησιμοποιηθεί το κριτήριο της παρεμβολής θα πρέπει η σχέση

abgd έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 28, 2024 7:10 pm

$\displaystyle{\left(f(x)-1\right)^2=\frac{g(x)}{3-g(x)}\cdot h\left(f(x)\right)}$

να ισχύει κοντά στο x_o=7

.

Επειδή αυτή προκύπτει διαιρώντας με 3-g(x)

κατά μέλη την για κάθε $x\in\mathbb{R}$ ισχύουσα σχέση
$g(x)\cdot h(f(x))=(f(x)-1)^2\cdot (3-g(x))$

θα άξιζε ίσως τον κόπο να προσθέσει κανείς την εξήγηση για ποιον λόγο κοντά στο x_o=7

ισχύει $3-g(x)\ne0$
με αποτέλεσμα να μπορούμε εν τέλει να διαιρέσουμε και να λάβουμε την επιθυμητή σχέση κοντά στο x_o=7

abgd · #10

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 30, 2024 11:59 pm

θα άξιζε ίσως τον κόπο να προσθέσει κανείς την εξήγηση για ποιον λόγο κοντά στο ισχύει $3-g(x)\ne0$
με αποτέλεσμα να μπορούμε εν τέλει να διαιρέσουμε και να λάβουμε την επιθυμητή σχέση κοντά στο

Είναι $\displaystyle{\lim_{x\to 7}{(3-g(x))}=3>0}$ οπότε για $\displaystyle{x}$ κοντά στο $\displaystyle{7}$ θα είναι 3-g(x)>0

.

Αυτό που είναι δύσκολο να κάνει κάποιος, στην απόδειξη που παραθέτω, είναι η μελέτη των ακροτάτων της συνάρτησης

.

Θα ήταν διδακτικό σαν θέμα αν στη θέση της συνάρτησης

είχαμε μια "εύκολη" συνάρτηση.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #11

abgd έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 31, 2024 9:51 am

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 30, 2024 11:59 pm

θα άξιζε ίσως τον κόπο να προσθέσει κανείς την εξήγηση για ποιον λόγο κοντά στο ισχύει $3-g(x)\ne0$
με αποτέλεσμα να μπορούμε εν τέλει να διαιρέσουμε και να λάβουμε την επιθυμητή σχέση κοντά στο
Είναι $\displaystyle{\lim_{x\to 7}{(3-g(x))}=3>0}$ οπότε για $\displaystyle{x}$ κοντά στο $\displaystyle{7}$ θα είναι .

Αυτό που είναι δύσκολο να κάνει κάποιος, στην απόδειξη που παραθέτω, είναι η μελέτη των ακροτάτων της συνάρτησης .

Θα ήταν διδακτικό σαν θέμα αν στη θέση της συνάρτησης είχαμε μια "εύκολη" συνάρτηση.

Όντως η μελέτη μονοτονίας/ακροτάτων της συνάρτησης h(x)

δεν είναι υπολογιστικά φιλική. Μπορούμε να κάνουμε όμως κάτι που ίσως είναι καλύτερο.

Αν παρατηρήσει κανείς τη λύση, δεν χρειαζόμαστε λεπτομερή μελέτη ακροτάτων. Αρκεί να αποδείξουμε ότι η |h(x)|

έχει ολικό μέγιστο (edit: αρκεί να δείξουμε ότι είναι άνω φραγμένη). Αυτό μπορεί να γίνει συντάσσοντας ένα ως επί το πλείστον θεωρητικό επιχείρημα με ελάχιστους υπολογισμούς το οποίο θα λαμβάνει υπ' όψιν τα όρια της h(x)

στα $\pm\infty$ και θα αξιοποιεί (με λίγη χειροτεχνία στο πεδίο ορισμού) καταλλήλως το θεώρημα μεγίστης και ελαχίστης τιμής.

abgd · #12

Με αφορμή τη δυσκολία της

, είχα σκεφτεί το εξής ενδιαφέρον...

Είναι $\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}{h(x)=\lim_{x\to +\infty}{h(x)=\dfrac{5}{3}}$

Η συνάρτηση $\displaystyle{s(x)=\left\{\begin{matrix} h(tanx), \ \ x\in \left(-\dfrac{\pi}{2}. \dfrac{\pi}{2}\right) \\ \dfrac{5}{3}, \ \ x=-\dfrac{\pi}{2}, \ \ x=\dfrac{\pi}{2} \\ \end{matrix}\right.$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ και έτσι θα έχει μέγιστο και ελάχιστο.

Υπάρχουν δηλαδή πραγματικοί αριθμοί m,M

έτσι ώστε: $\displaystyle{m\leq h(tanx)\leq M, \ \ \forall x \in \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)}$

και εφόσον το σύνολο τιμών της tanx

είναι το $\mathbb{R}$ , θα έχουμε: $\displaystyle{m\leq h(x)\leq M, \ \ \forall x \in \mathbb{R}}$

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #13

abgd έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 31, 2024 5:39 pm
Με αφορμή τη δυσκολία της , είχα σκεφτεί το εξής ενδιαφέρον...

Είναι $\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}{h(x)=\lim_{x\to +\infty}{h(x)=\dfrac{5}{3}}$

Η συνάρτηση $\displaystyle{s(x)=\left\{\begin{matrix} h(tanx), \ \ x\in \left(-\dfrac{\pi}{2}. \dfrac{\pi}{2}\right) \\ \dfrac{5}{3}, \ \ x=-\dfrac{\pi}{2}, \ \ x=\dfrac{\pi}{2} \\ \end{matrix}\right.$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ και έτσι θα έχει μέγιστο και ελάχιστο.

Υπάρχουν δηλαδή πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε: $\displaystyle{m\leq h(tanx)\leq M, \ \ \forall x \in \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)}$

και εφόσον το σύνολο τιμών της είναι το $\mathbb{R}$ , θα έχουμε: $\displaystyle{m\leq h(x)\leq M, \ \ \forall x \in \mathbb{R}}$

Πολύ κομψό και σύντομο, αυτό που είχα στο νου μου είχε περισσότερη φασαρία.

Εναλλακτικά για κάτι ακόμη πιο στοιχειώδες, αντί της $\tan x$ θα μπορούσε κανείς να προτείνει την:
$\dfrac{x}{1-x^2}$ , $x\in (-1,1)$

και να κατασκευάσει την αντίστοιχη s(x)

, $x\in [-1,1]$

Μελέτη Ορίου ΙΙ

Μελέτη Ορίου ΙΙ

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙ

Μέλη σε σύνδεση