Ομοκυκλικά σημεία και συνάρτηση

Al.Koutsouridis · #1

Για ένα πραγματικό αριθμό

, με $a > \sqrt{2}$ , ας είναι f(x)

η συνάρτηση με τύπο f(x)=-x^3+ax^2+2x

. Έστω

το σημείο τομής της εφαπτομένης της καμπύλης y=f(x)

στο σημείο O(0,0)

με την καμπύλη y=f(x)

, διάφορο του

. Έστω

το σημείο τομής της εφαπτομένης της καμπύλης y=f(x)

στο σημείο

, με τον άξονα των

. Αν το σημείο

βρίσκεται σε κύκλο διαμέτρου

, να βρείτε την τιμή του γινομένου $OA \cdot OB$ .

abgd · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 20, 2023 11:20 pm
Για ένα πραγματικό αριθμό , με $a > \sqrt{2}$ , ας είναι η συνάρτηση με τύπο . Έστω το σημείο τομής της εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο με την καμπύλη , διάφορο του . Έστω το σημείο τομής της εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο , με τον άξονα των . Αν το σημείο βρίσκεται σε κύκλο διαμέτρου , να βρείτε την τιμή του γινομένου $OA \cdot OB$ .

: Omokiklika.png (33.09 KiB) Προβλήθηκε 147 φορές

$\displaystyle{f(x)=-x^3+ax^2+2x}$ , $\displaystyle{f'(x)=-3x^2+2ax+2}$ , $\displaystyle{f'(0)=2}$ .

$\displaystyle{OA: \ \ y=2x}$ ,

$\displaystyle{\begin{Bmatrix} y=2x \\ y=-x^3+ax^2+2x \end{Bmatrix}\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} y=2a , y=0 \\ x=a , \ \ x=0\end{Bmatrix}$

$\displaystyle{A(a,2a)}$

Ο συντελεστής διεύθυνσης της $\displaystyle{AB}$ είναι $\displaystyle{f'(a)=2-a^2}$ και εφόσον $\displaystyle{OA\perp AB}$ θα πρέπει

$\displaystyle{2-a^2=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow a=\sqrt{\frac{5}{2}}}$

$\displaystyle{AB: \ \ y=-\frac{1}{2}x+\frac{5a}{2}}$ .

$\displaystyle{B(5a,0)}$

$\displaystyle{OA\cdot OB=5a\cdot \sqrt{a^2+4a^2}=5\sqrt{5}a^2=\frac{25\sqrt{5}}{2}}$ .

Ομοκυκλικά σημεία και συνάρτηση

Ομοκυκλικά σημεία και συνάρτηση

Re: Ομοκυκλικά σημεία και συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση