Ομοκυκλικά σημεία και συνάρτηση

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1710
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ομοκυκλικά σημεία και συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Νοέμ 20, 2023 11:20 pm

Για ένα πραγματικό αριθμό a, με a > \sqrt{2}, ας είναι f(x) η συνάρτηση με τύπο f(x)=-x^3+ax^2+2x. Έστω A το σημείο τομής της εφαπτομένης της καμπύλης y=f(x) στο σημείο O(0,0) με την καμπύλη y=f(x), διάφορο του O. Έστω B το σημείο τομής της εφαπτομένης της καμπύλης y=f(x) στο σημείο A, με τον άξονα των x. Αν το σημείο A βρίσκεται σε κύκλο διαμέτρου OB, να βρείτε την τιμή του γινομένου OA \cdot OB.



Λέξεις Κλειδιά:
abgd
Δημοσιεύσεις: 390
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Ομοκυκλικά σημεία και συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Πέμ Νοέμ 23, 2023 10:41 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Νοέμ 20, 2023 11:20 pm
Για ένα πραγματικό αριθμό a, με a > \sqrt{2}, ας είναι f(x) η συνάρτηση με τύπο f(x)=-x^3+ax^2+2x. Έστω A το σημείο τομής της εφαπτομένης της καμπύλης y=f(x) στο σημείο O(0,0) με την καμπύλη y=f(x), διάφορο του O. Έστω B το σημείο τομής της εφαπτομένης της καμπύλης y=f(x) στο σημείο A, με τον άξονα των x. Αν το σημείο A βρίσκεται σε κύκλο διαμέτρου OB, να βρείτε την τιμή του γινομένου OA \cdot OB.
Omokiklika.png
Omokiklika.png (33.09 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές
\displaystyle{f(x)=-x^3+ax^2+2x}, \displaystyle{f'(x)=-3x^2+2ax+2}, \displaystyle{f'(0)=2}.

\displaystyle{OA: \ \ y=2x},

\displaystyle{\begin{Bmatrix} y=2x \\ y=-x^3+ax^2+2x \end{Bmatrix}\Leftrightarrow  \begin{Bmatrix} y=2a , y=0 \\ x=a , \ \ x=0\end{Bmatrix}

\displaystyle{A(a,2a)}

Ο συντελεστής διεύθυνσης της \displaystyle{AB} είναι \displaystyle{f'(a)=2-a^2} και εφόσον \displaystyle{OA\perp AB} θα πρέπει

\displaystyle{2-a^2=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow a=\sqrt{\frac{5}{2}}}

\displaystyle{AB: \ \ y=-\frac{1}{2}x+\frac{5a}{2}}.

\displaystyle{B(5a,0)}


\displaystyle{OA\cdot OB=5a\cdot \sqrt{a^2+4a^2}=5\sqrt{5}a^2=\frac{25\sqrt{5}}{2}}.


\mathbb{K}_{ostas}\sum{}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης