Πολυωνυμική με αντι-Bolzano συνθήκη

Al.Koutsouridis · #1

Η πολυωνυμική συνάρτηση τρίτου βαθμού f(x)

, ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής της οποίας ισούται με

, ικανοποιεί την ακόλουθη συνθήκη:

Για την συνάρτηση f(x)

, δεν υπάρχει ακέραιος

, που ικανοποιεί την f(k-1)f(k+1)<0

.

Αν $f^{\prime} \left ( -\dfrac{1}{4}\right)= -\dfrac{1}{4}$ και $f^{\prime} \left ( \dfrac{1}{4}\right) < 0$ , να βρείτε την τιμή f(8)

.

Venizelos · #2

Καλησπέρα! Είμαι νέος χρήστης του mathematica.gr και δεν είμαι σίγουρος για το πώς να παραθέσω εικόνες από την απόδειξή μου.

Εαν μπορεί κάποιος να με βοηθήσει θα του ήμουν ευγνώμων.

Εάν δεν μου προέκυψε κάποιο αριθμητικό τότε η απάντηση είναι f(8)=483.

Ίσως κάποιος άλλος να έχει βρει τη λύση και να έχει και το χρόνο να τη δακτυλογραφήσει.

Επεξεργασία: Ανέβασα τις εικόνες σε μορφή ZIP!

Το συνημμένο αφαιρέθηκε, καθώς ο κανονισμός μας απαγορεύει αυτή την πρακτική. Όποιος επιθυμεί να απαντήσει, πρέπει να γράψει σε $\displaystyle{\LaTeX}$

abgd · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 19, 2023 7:48 pm
Η πολυωνυμική συνάρτηση τρίτου βαθμού , ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής της οποίας ισούται με , ικανοποιεί την ακόλουθη συνθήκη:

Για την συνάρτηση , δεν υπάρχει ακέραιος , που ικανοποιεί την .

Αν $f^{\prime} \left ( -\dfrac{1}{4}\right)= -\dfrac{1}{4}$ και $f^{\prime} \left ( \dfrac{1}{4}\right) < 0$ , να βρείτε την τιμή .

Έστω $\displaystyle{f(x)=x^3+ax^2+bx+c}$

$\displaystyle{f'(x)=3x^2+2ax+b}$

$\displaystyle{f'\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{4} \Leftrightarrow .....\boxed{b=\frac{a}{2}-\frac{7}{16}}}$

$\displaystyle{f'\left(\frac{1}{4}\right)<0 \Leftrightarrow .....\boxed{a<\frac{1}{4}}, \ \ \boxed{b <-\frac{5}{16}}}$

Η παράγωγος της συνάρτησης έχει δύο ρίζες $\displaystyle{x_1, x_2}$ με $\displaystyle{x_1<0<x_2}$ στις οποίες αλλάζει πρόσημο ... $\displaystyle{f'(x)<0 \ \ \forall x \in \left(x_1, x_2\right)}$ .

Άρα η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα: $\displaystyle{\left(-\infty,x_1\right], \ \ \left[x_2, +\infty\right)}$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\left[x_1, x_2\right]}$ .

Αν υποθέσουμε ότι $\displaystyle{ f(x_1)\leq 0}$ τότε $\displaystyle{ f(0)<0, f(x_2)<0}$ και η συνάρτηση θα έχει μία ρίζα $\displaystyle{ \rho}$ στο $\displaystyle{ \left[x_2, +\infty\right)}$ . Τότε όμως θα είναι:

$\displaystyle{ f\left([\rho]\right)< 0}$ και $\displaystyle{ f\left([\rho]+2\right)> 0}$ , το οποίο είναι αδύνατο από την υπόθεση της άσκησης.

( Με το σύμβολο $\displaystyle{ [\rho]}$ εννοούμε τον μεγαλύτερο ακέραιο που είναι μικρότερος του $\displaystyle{ \rho}$ )

Άρα $\displaystyle{ f(x_1)> 0}$ και ομοίως $\displaystyle{ f(x_2)< 0}$

Έτσι, η συνάρτηση θα έχει τρείς ρίζες: $\displaystyle{ r_1 \in \left(-\infty,x_1\right)}$ , $\displaystyle{ r_2 \in \left(x_1, x_2\right)}$ , $\displaystyle{ r_3 \in \left(x_2, +\infty\right)}$ .

Έχουμε $\displaystyle{ 0\in \left(r_1, r_3\right)}$ και αν υποθέσουμε ότι $\displaystyle{ r_2\ne 0}$ τότε $\displaystyle{ 0\in \left(r_1, r_2\right)}$ ή $\displaystyle{ 0\in \left(r_2, r_3\right)}$ .

Έστω ότι $\displaystyle{ 0\in \left(r_1, r_2\right)}$ : Αν $\displaystyle{ k}$ ο μικρότερος ακέραιος του $\displaystyle{ \left(r_1, r_2\right)}$ τότε $\displaystyle{ f(k)>0}$ και $\displaystyle{ f(k-2)<0}$ άτοπο. Άρα $\displaystyle{ 0\notin \left(r_1, r_2\right)}$ και ομοίως $\displaystyle{ 0\notin \left(r_2, r_3\right)}$ .

Συνεπώς $\displaystyle{ r_2=0}$ δηλαδή $\displaystyle{ \boxed{f(0)=0}}$

Έστω ότι $\displaystyle{ 1\in \left(r_2, r_3\right)}$ : Αν $\displaystyle{ m}$ ο μεγαλύτερος ακέραιος του $\displaystyle{ \left(r_2, r_3\right)}$ , τότε $\displaystyle{ f(m)<0}$ και $\displaystyle{ f(m+2)>0}$ άτοπο.

Συνεπώς $\displaystyle{ r_3\leq 1}$ δηλαδή $\displaystyle{ f(1)\geq 0}$ και όμοια ... $\displaystyle{ f(-1)\leq 0}$

Έτσι, θα πρέπει $\displaystyle{ \boxed{f(1)= 0}}$ ή $\displaystyle{ \boxed{f(-1)= 0}}$

Αν $\displaystyle{f(-1)= 0}$ τότε προκύπτει: $\displaystyle{ a=\frac{9}{8} > \frac{1}{4}}$ αδύνατο.

Τελικά $\displaystyle{ \boxed{f(1)= 0}}$ και $\displaystyle{ \boxed{f(x)=x^3-\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{8}x}$ .

Πολυωνυμική με αντι-Bolzano συνθήκη

Πολυωνυμική με αντι-Bolzano συνθήκη

Re: Πολυωνυμική με αντι-Bolzano συνθήκη

Re: Πολυωνυμική με αντι-Bolzano συνθήκη

Μέλη σε σύνδεση