Ευθεία και κοίλη συνάρτηση.

#1

Έστω μια κοίλη συνάρτηση

ορισμένη στους πραγματικούς και δύο διάφορα σημεία

,

κάτω από την γραφική της παράσταση $\mathcal{C}_f$ . Να αποδειχθεί ότι η ευθεία

τέμνει την $\mathcal{C}_f$ .

ΥΓ Θεωρώ εξαιρετικά πιθανον να την έχουμε ξαναδεί αλλά δεν θυμάμαι κάτι. Σε μια τέτοια περίπτωση ας την αγνοήσουμε.

#2

Ας είναι τα σημεία τα $\displaystyle{A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)}$ . Αν $\displaystyle{x_1=x_2}$ , το ζητούμενο είναι προφανές. Ας είναι λοιπόν $\displaystyle{x_1<x_2}$ και ας είναι $\displaystyle{y=ax+b}$

η ευθεία $\displaystyle{AB}$

Είναι $\displaystyle{f(x_1)>ax_1+b}$ , οπότε αποκλείεται να ισχύει $\displaystyle{f(x)<ax+b}$ για κάθε $\displaystyle{x.}$

Υποθέτουμε ότι ισχύει $\displaystyle{f(x)>ax+b}$ για κάθε $\displaystyle{x}$ . Από το κοίλο της $\displaystyle{f}$ θα ισχύει επίσης

$\displaystyle{f'(x_1)(x-x_1)+f(x_1)>ax+b}$ και $\displaystyle{f'(x_2)(x-x_2)+f(x_1)>ax+b}$ για κάθε $\displaystyle{x}$ .

Από αυτές προκύπτει ότι $\displaystyle{f'(x_1)=f'(x_2)=a,}$ , άτοπο αφού η $\displaystyle{f'}$ είναι γνησίως φθίνουσα.

Παραπάνω χρησιμοποιήθηκε ότι $\displaystyle{mx+n>0}$ $\displaystyle{ \forall x \implies m=0.}$

#3

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 19, 2023 8:55 pm
Έστω μια κοίλη συνάρτηση ορισμένη στους πραγματικούς και δύο διάφορα σημεία , κάτω από την γραφική της παράσταση $\mathcal{C}_f$ . Να αποδειχθεί ότι η ευθεία τέμνει την $\mathcal{C}_f$ .

ΥΓ Θεωρώ εξαιρετικά πιθανον να την έχουμε ξαναδεί αλλά δεν θυμάμαι κάτι. Σε μια τέτοια περίπτωση ας την αγνοήσουμε.

Δεν ξέρω κατά πόσο είναι τεκμηριωμένο αυτό που θα γράψω.

Φέρνω μία εφαπτομένη $(\epsilon)$ της C_f

που να μην είναι παράλληλη στην AB.

Τότε η $(\epsilon)$ τέμνει την AB.

Αν το σημείο τομής τους είναι το σημείο επαφής, τότε τελειώσαμε. Αν όμως οι ευθείες τέμνονται σε κάποιο άλλο σημείο, έστω

τότε αυτό το σημείο θα βρίσκεται πάνω από την C_f

(αφού είναι κοίλη). Άρα η ευθεία

έχει τα σημεία A, B

κάτω από την καμπύλη και ένα τουλάχιστον σημείο της πάνω από αυτήν. Επομένως η

τέμνει την C_f.

abgd · #4

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 19, 2023 8:55 pm
Έστω μια κοίλη συνάρτηση ορισμένη στους πραγματικούς και δύο διάφορα σημεία , κάτω από την γραφική της παράσταση $\mathcal{C}_f$ . Να αποδειχθεί ότι η ευθεία τέμνει την $\mathcal{C}_f$ .

ΥΓ Θεωρώ εξαιρετικά πιθανον να την έχουμε ξαναδεί αλλά δεν θυμάμαι κάτι. Σε μια τέτοια περίπτωση ας την αγνοήσουμε.

Ισχύει:

Αν μια συνάρτηση είναι κοίλη στο $\displaystyle{ \mathbb{R}}$ τότε δεν μπορεί να είναι θετική.

Απόδειξη

Έστω η κοίλη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ . Υπάρχει $\displaystyle{ a\in \mathbb{R}}$ τέτοιο ώστε: $\displaystyle{ f'(a)\ne0}$

Αν $\displaystyle{ f'(a)<0}$ τότε, εφόσον $\displaystyle{f(x)\leq f'(a)(x-a)+f(a)}$ , θα είναι: $\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}{f(x)=-\infty}$

Αν $\displaystyle{ f'(a)>0}$ τότε, εφόσον $\displaystyle{f(x)\leq f'(a)(x-a)+f(a)}$ , θα είναι: $\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}{f(x)=-\infty}$
...............................................................................................................
Για το συγκεκριμένο, και εφόσον η ευθεία $\displaystyle{AB}$ δεν είναι κατακόρυφη, θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=f(x)-kx-m}$

όπου $\displaystyle{y=kx+m}$ οποιαδήποτε ευθεία που περνάει από το $\displaystyle{A(a,b)}$ , το οποίο είναι κάτω από την γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ .

Είναι $\displaystyle{g(a)>0}$

Εφόσον η $\displaystyle{g}$ είναι κοίλη θα έχει και αρνητικές τιμές.

Αν $\displaystyle{g(c)}$ μία αρνητική τιμή, τότε από θεώρημα Bolzano μεταξύ των $\displaystyle{a,c}$ η $\displaystyle{g}$ μηδενίζει και έτσι έχουμε το ζητούμενο.

Αν η ευθεία είναι κατακόρυφη και $\displaystyle{A(a,b)}$ , με τον ίδιο τρόπο, αφού θεωρήσουμε την συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=f(x)-b}$ .
........................................................................................................................
Υ.Γ.: Ουσιαστικά αποδείχθηκε το γενικότερο:
Αν σημείο $\displaystyle{A}$ βρίσκεται κάτω από την γραφική παράσταση μιας κοίλης συνάρτησης τότε οποιαδήποτε ευθεία, η οποία διέρχεται από το $\displaystyle{A}$ , θα τέμνει την γραφική παράσταση της συνάρτησης.

#5

Φέρνω εφαπτομένη $\displaystyle{e}$ της $\displaystyle{C_f//AB,}$ Αν η ΑΒ βρισκεται πανω από την $\displaystyle{e}$ τοτε δεν μπορει να τεμνει τη $\displaystyle{C_f}$ γιατι αυτή βρίσκεται κατω από την $\displaystyle{e}$ αρα τα Α,Β πρεπει να βρίσκονται κατω από την $\displaystyle{C_f}$ που ισχυει

εστω $\displaystyle{\frac{y-y_A}{x-x_A}=\frac{y_A-y_B}{x_A- x_B}}$ τότε τα σημεία $\displaystyle{K(x,y),A,B}$ συνευθειακά
αρκει το $\displaystyle{K\in C_f}$ ή $\displaystyle{y=f(x_0),x=x_0}$
αρα αρκει το $\displaystyle{y}$ να ανήκει στο σύνολο τιμων της $\displaystyle{f}$
To σύνολο τιμών μιας κοίλης συναρτησης στο $\displaystyle{R}$ είναι το $\displaystyle{(-\infty,M]}$ ή το $\displaystyle{R}$
Aν είναι το $\displaystyle{(-\infty,M]}$ αρκεί $\displaystyle{y\le M}$ γιατι οποιοσδήποτε αριθμός <Μ είναι στοΙχείο του συνόλου τιμών κι ετσι $\displaystyle{y=f(x)}$ οποτε η ΑΒ τεμνει την $\displaystyle{C_f}$
Αν συνολο τιμων είναι το $\displaystyle{R}$ ομοίως

ΔΙΟΡΘΩΣΗ για να μη χαθεί το θεμα
Ο Νίκος παρατήρησε οτι δεν υπαρχει πάντα εφπτομενη // στην ΑΒ και τον ευχαριστώ
η απόδειξη σωζεται αν προσθεσουμε την λεξη ... οταν υπαρχει φερνω ...
ΥΓ λείπουν μερικοί τόνοι συγνώμη είταν αργά

#6

Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις.
H δική μου προσέγγιση χρησιμοποιεί μόνο τον ορισμό της κοίλης συνάρτησης και για αυτό λόγω ποικιλίας την γράφω. Φυσικά επικαλύψεις με τις άλλες λύσεις είναι αναπόφευκτες.

Ας πούμε ότι τα σημεία είναι τα $A\left( x_{1},y_{1}\right)$ και $B\left( x_{2},y_{2}\right)$ . Αν $x_{1}=x_{2}$ η

είναι η

η οποία προφανώς τέμνει την $\mathcal{C}_f$ . Έστω λοιπόν ότι $x_{1} \neq x_{2}$ οπότε η

συμπίπτει με την γραφική παράσταση της
$g\left( x\right) =\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left( x-x_{1}\right) +y_{1}$ .
Θέλουμε $f\left( x\right) =g\left( x\right)$ για κάποιο

ή ισοδύναμα η h=f-g

να έχει ρίζα. Έχουμε
$\bullet$ $h\left( x_{1}\right) =f\left( x_{1}\right) -y_{1}>0$ αφού το

είναι κάτω από την $\mathcal{C}_f$ .
$\bullet$ $h^{\prime \prime }\left( x\right) =f^{\prime \prime }\left( x\right)$ επομένως και η

είναι κοίλη. Επειδή η

είναι γνησίως φθίνουσα δεν θα είναι όλες οι τιμές της μηδέν και επομένως για κάποιο $x_{0}$ θα είναι $h'\left( x_{0}\right) \neq 0$ .
$\blacksquare$ Αν $h^{\prime }\left( x_{0}\right) >0$ τότε για $x<x_{0}$ από το θεώρημα μεσης τιμής έχουμε
$h\left( x\right) -h\left( x_{0}\right) \underset{\,\,t\in \left( x,x_{0}\right) }{=}\underset{+}{\underbrace{h^{\prime }\left( t\right) }}\underset{-}{\underbrace{\left( x-x_{0}\right) }}<\underset{+}{\underbrace{h^{\prime }\left( x_{0}\right) }}\underset{-}{\underbrace{\left( x-x_{0}\right) }}$
Αφού για $x\rightarrow -\infty$ είναι $h^{\prime }\left( x_{0}\right) \left( x-x_{0}\right) \rightarrow -\infty$ και επομένως και $h\left( x\right) \rightarrow -\infty$ . Άρα για κάποιο x_3

είναι $h\left( x_{3}\right) <0$ και η ύπαρξη ρίζας για την

προκύπτει από το θεώρημα του Bolzano.
$\blacksquare$ Αν $h^{\prime }\left( x_{0}\right)<0$ τότε για $x>x_{0}$ επιχειρηματλογγούμε όμοια και έχουμε
$h\left( x\right) -h\left( x_{0}\right) \underset{\,\,t\in \left( x_{0},x\right) }{=}\underset{\_}{\underbrace{h^{\prime }\left( t\right) }}\underset{+}{\underbrace{\left( x-x_{0}\right) }}>\underset{-}{\underbrace{h^{\prime }\left( x_{0}\right) }}\underset{+}{\underbrace{\left( x-x_{0}\right) }}$
και για $x\rightarrow +\infty$ $h^{\prime }\left( x_{0}\right) \left( x-x_{0}\right) \rightarrow -\infty$ οπότε πάλι η

παίρνει αρνητική τιμή και το ζητούμενο έπεται.

Κάποια σχόλια

1) Πράγματι η βασική ιδέα είναι ότι

abgd έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 20, 2023 7:16 pm
Αν μια συνάρτηση είναι κοίλη στο τότε δεν μπορεί να είναι θετική.

κσι πράγματι μπορούμε από την εκφώνηση να απαλλαγούμε από ένα εκ των δύο σημείων.

2) Ασφαλώς αυτό που γράφει ο Γιώργος

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 20, 2023 2:30 pm
Φέρνω μία εφαπτομένη $(\epsilon)$ της που να μην είναι παράλληλη στην Τότε η $(\epsilon)$ τέμνει την Αν το σημείο τομής τους είναι το σημείο επαφής, τότε τελειώσαμε. Αν όμως οι ευθείες τέμνονται σε κάποιο άλλο σημείο, έστω τότε αυτό το σημείο θα βρίσκεται πάνω από την (αφού είναι κοίλη). Άρα η ευθεία έχει τα σημεία κάτω από την καμπύλη και ένα τουλάχιστον σημείο της πάνω από αυτήν. Επομένως η τέμνει την

είναι τεκμηριωμένο αφού με μια-δύο επεμβάσεις μπορεί η γεωμετρική γλώσσα να μεταφραστεί σε "σχολική αναλυτική". Αυτά επί της μαθηματικής ουσίας. Στις εξετάσεις όμως τα πράγματα είναι διαφορετικά. Όσες φορές (λίγες) έχω δει σε κάποιο γραπτό τέτοιου είδους επιχειρηματολογία την έχω χαρεί. Ωστόσο έχω διαπιστώσει ότι οι βαθμολογητές τρέφουν κάποιου είδους δυδανεξία στα γεωμετρικά επιχειρήματα και απαιτούν ακόμη και για απλές καταστάσεις "αναλυτικές" αιτιολογήσεις.

Ευθεία και κοίλη συνάρτηση.

Ευθεία και κοίλη συνάρτηση.

Re: Ευθεία και κοίλη συνάρτηση.

Re: Ευθεία και κοίλη συνάρτηση.

Re: Ευθεία και κοίλη συνάρτηση.

Re: Ευθεία και κοίλη συνάρτηση.

Re: Ευθεία και κοίλη συνάρτηση.

Μέλη σε σύνδεση