Μονοτονία παραγώγου σε κλειστό διάστημα
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
Μονοτονία παραγώγου σε κλειστό διάστημα
Καλημέρα σε όλους και καλώς σας βρήκα!
Θα ήθλεα τη βόηθειά σας στο παρακάτω, καθώς δεν μπορώ να βρω τι μου διαφεύγει.
Για συνάρτηση παραγωγίσιμη και κοίλη, με (και ), μπορούμε να συμπεράνουμε ότι για ;
Σύμφωνα με το σχολικό, η είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του διαστήματος. Πώς μπορούμε να ξεπεράσουμε το εμπόδιο και να συγκρίνουμε με το ;
Ευχαριστώ πολύ!
Update Επειδή τώρα κατάλαβα πώς μπορώ να ανεβάσω φωτο, επισυνάπτω την άσκηση-εμπνευση της απορίας.
Και πάλι ευχαριστώ.
Θα ήθλεα τη βόηθειά σας στο παρακάτω, καθώς δεν μπορώ να βρω τι μου διαφεύγει.
Για συνάρτηση παραγωγίσιμη και κοίλη, με (και ), μπορούμε να συμπεράνουμε ότι για ;
Σύμφωνα με το σχολικό, η είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του διαστήματος. Πώς μπορούμε να ξεπεράσουμε το εμπόδιο και να συγκρίνουμε με το ;
Ευχαριστώ πολύ!
Update Επειδή τώρα κατάλαβα πώς μπορώ να ανεβάσω φωτο, επισυνάπτω την άσκηση-εμπνευση της απορίας.
Και πάλι ευχαριστώ.
- Συνημμένα
-
- άσκηση.png (761.77 KiB) Προβλήθηκε 724 φορές
τελευταία επεξεργασία από matha σε Κυρ Μαρ 19, 2023 1:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Μεταγραφή σε LaTeX
Λόγος: Μεταγραφή σε LaTeX
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Μονοτονία παραγώγου σε κλειστό διάστημα
Δεν μπορούμε!
Αν έχουμε μια κοίλη συνάρτηση και κάποιο τότε,
εφόσον , θα είναι:
και έτσι η συνάρτηση θα έχει και αρνητικές τιμές.
Ακόμη, δεν γίνεται ούτε γιατί τότε
η συνάρτηση θα ήταν αύξουσα άρα .
Είναι όμως και κοίλη με οπότε
Άρα !!!
Υ.Γ.: Αν είχαμε... "Για συνάρτηση παραγωγίσιμη και κοίλη, με (και )" ,
τότε μπορούμε να συμπεράνουμε για .
Re: Μονοτονία παραγώγου σε κλειστό διάστημα
Να δώσω μία λεπτομερή απόδειξη στην παρακάτω πρόταση.
Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με και κοίλη τότε:
Αφού η είναι κοίλη, η γραφική της παράσταση είναι πιο κάτω από την εφαπτομένη της στο σημείο :
, με την ισότητα να ισχύει μόνο για .
α) Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε .
Αφού η είναι γνησίως φθίνουσα στο θα είναι
Έτσι, η συνάρτηση θα είναι γνησίως αύξουσα στο και θα ισχύει:
και, από την θα έχουμε:
Τότε όμως , δηλαδή η σταθερή στο το οποίο είναι άτοπο.
Άρα θα πρέπει
β) Η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο οπότε
Αφού η είναι κοίλη για οποιονδήποτε αριθμό είναι: .
Όμως και έτσι
Άρα οπότε
Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με και κοίλη τότε:
- α)
- β)
Αφού η είναι κοίλη, η γραφική της παράσταση είναι πιο κάτω από την εφαπτομένη της στο σημείο :
, με την ισότητα να ισχύει μόνο για .
α) Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε .
Αφού η είναι γνησίως φθίνουσα στο θα είναι
Έτσι, η συνάρτηση θα είναι γνησίως αύξουσα στο και θα ισχύει:
και, από την θα έχουμε:
Τότε όμως , δηλαδή η σταθερή στο το οποίο είναι άτοπο.
Άρα θα πρέπει
β) Η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο οπότε
Αφού η είναι κοίλη για οποιονδήποτε αριθμό είναι: .
Όμως και έτσι
Άρα οπότε
Re: Μονοτονία παραγώγου σε κλειστό διάστημα
Ευχαριστώ πολύ, abgd, για το χρόνο που αφιέρωσες και τη λεπτομερή ανάλυση!!!
Re: Μονοτονία παραγώγου σε κλειστό διάστημα
Για να "σώσουμε" τις καλές ιδέες του θέματος προτείνω το παρακάτω:
Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη, κοίλη με
A. Να δείξετε ότι ισχύουν:
α. Να δείξετε ότι η είναι συνεχής στο
β. Να μελετήσετε τη μονοτονία της
γ. Να δείξετε ότι:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 17 επισκέπτες