Ενδιαφέρον μέγιστο

KARKAR · #1

: Ενδιαφέρον μέγιστο.png (10.17 KiB) Προβλήθηκε 260 φορές

$\bigstar$ Από σημείο

της προέκτασης της διαμέτρου AOB=2r

ενός ημικυκλίου , φέρουμε το εφαπτόμενο

τμήμα

και ονομάζουμε

την προβολή του

στην

και

την προβολή του σημείου

στην

.

Βρείτε το μέγιστο του (TPQ)

και τη θέση του

για την οποία αυτό επιτυγχάνεται .

#2

Έστω

η γωνία

, η οποία μεταφέρεται στις κορυφές T, P

των τριγώνων OTP,PTQ

, αντίστοιχα, από τα οποία παίρνουμε:

PT=Rcosx, PQ=Rcos^2x, TQ=Rcosxsinx

Ζητάμε το μέγιστο του εμβαδού:

$\dfrac{1}{2}PQ\cdot TQ=\dfrac{1}{2}R^2cos^3xsinx$

Αλλά $cos^3xsinx=\left ( cos^2x \right )^{3/2} \left ( sin^2x \right )^{1/2}$ και cos^2x+sin^2x=1

Επομένως το γινόμενο cos^3xsinx

γίνεται μέγιστο όταν

$\dfrac{cos^2x}{3/2}=\dfrac{sin^2x}{1/2}=\dfrac{1}{3/2+1/2}=\dfrac{1}{2}$ , άρα $x=\dfrac{\pi }{6}$ , κ.λπ.

KARKAR · #3

: Ενδιαφέρον μέγιστο.png (10.72 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές

... Ζητάμε λοιπόν το μέγιστο της : $f(x)=\cos^3x\cdot\sin x , 0<x<\pi/2$ .

Η εξαίρετη μέθοδος του Κώστα , είναι άγνωστη στους μαθητές ( προς τους οποίους , κυρίως , απευθύνεται η άσκηση ) .

Αντ' αυτής , πάμε με την παράγωγο : $f'(x)=\cos^2x(\cos^2x-3\sin^2x)$ , η οποία μηδενίζεται αν : $\tan^2x=\dfrac{1}{3}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 21, 2023 8:37 am
Ενδιαφέρον μέγιστο.png $\bigstar$ Από σημείο της προέκτασης της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , φέρουμε το εφαπτόμενο

τμήμα και ονομάζουμε την προβολή του στην και την προβολή του σημείου στην .

Βρείτε το μέγιστο του και τη θέση του για την οποία αυτό επιτυγχάνεται .

Μία πιο χρονοβόρα αντιμετώπιση.

Έστω BS=x.

Είναι, $\displaystyle ST = \sqrt {{x^2} + 2rx}$ και $\displaystyle {r^2} = OP(r + x),$ απ' όπου παίρνω

$\displaystyle OP = \frac{{{r^2}}}{{r + x}},PS = \frac{{{x^2} + 2rx}}{{r + x}}.$ Από τις παραλληλίες τώρα, έχω:

: Ενδιαφέρον μέγιστο.Κ.png (17.26 KiB) Προβλήθηκε 61 φορές

$\displaystyle \frac{{TQ}}{{ST}} = \frac{{OP}}{{r + x}},\frac{{PQ}}{r} = \frac{{PS}}{{r + x}} \Rightarrow TQ = \frac{{{r^2}\sqrt {{x^2} + 2rx} }}{{{{(x + r)}^2}}},PQ = \frac{{{r^2}({x^2} + 2rx)}}{{{{(x + r)}^2}}}.$

Άρα, $\displaystyle (TPQ) = f(x) = \frac{{PQ \cdot TQ}}{2} = \frac{{{r^3}({x^2} + 2rx)\sqrt {{x^2} + 2rx} }}{{{{(x + r)}^4}}}$

$\displaystyle f'(x) = - \frac{{{r^3}\sqrt {{x^2} + 2rx} (x + 3r)(x - r)}}{{2{{(x + r)}^5}}},$ όπου εύκολα προκύπτει ότι για $\boxed{x=r}}$ έχουμε

μέγιστο εμβαδόν $\boxed{f(r) = \frac{{3{r^2}\sqrt 3 }}{{32}}}$ Στη συγκεκριμένη θέση είναι, $T\widehat OS=60^\circ$

Ενδιαφέρον μέγιστο

Ενδιαφέρον μέγιστο

Re: Ενδιαφέρον μέγιστο

Re: Ενδιαφέρον μέγιστο

Re: Ενδιαφέρον μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση