Ενδιαφέρον μέγιστο

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 14019
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ενδιαφέρον μέγιστο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 21, 2023 8:37 am

Ενδιαφέρον μέγιστο.png
Ενδιαφέρον μέγιστο.png (10.17 KiB) Προβλήθηκε 260 φορές
\bigstar Από σημείο S της προέκτασης της διαμέτρου AOB=2r ενός ημικυκλίου , φέρουμε το εφαπτόμενο

τμήμα ST και ονομάζουμε P την προβολή του T στην OB και Q την προβολή του σημείου P στην ST .

Βρείτε το μέγιστο του (TPQ) και τη θέση του S για την οποία αυτό επιτυγχάνεται .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2053
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Ενδιαφέρον μέγιστο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Ιαν 24, 2023 10:35 am

Έστω x η γωνία OST, η οποία μεταφέρεται στις κορυφές T, P των τριγώνων OTP,PTQ, αντίστοιχα, από τα οποία παίρνουμε:

PT=Rcosx, PQ=Rcos^2x, TQ=Rcosxsinx

Ζητάμε το μέγιστο του εμβαδού:

\dfrac{1}{2}PQ\cdot TQ=\dfrac{1}{2}R^2cos^3xsinx

Αλλά cos^3xsinx=\left ( cos^2x \right )^{3/2} \left ( sin^2x \right )^{1/2} και cos^2x+sin^2x=1

Επομένως το γινόμενο cos^3xsinx γίνεται μέγιστο όταν

\dfrac{cos^2x}{3/2}=\dfrac{sin^2x}{1/2}=\dfrac{1}{3/2+1/2}=\dfrac{1}{2}, άρα x=\dfrac{\pi }{6}, κ.λπ.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 14019
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ενδιαφέρον μέγιστο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιαν 24, 2023 7:33 pm

Ενδιαφέρον μέγιστο.png
Ενδιαφέρον μέγιστο.png (10.72 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές
... Ζητάμε λοιπόν το μέγιστο της : f(x)=\cos^3x\cdot\sin x , 0<x<\pi/2 .

Η εξαίρετη μέθοδος του Κώστα , είναι άγνωστη στους μαθητές ( προς τους οποίους , κυρίως , απευθύνεται η άσκηση ) .

Αντ' αυτής , πάμε με την παράγωγο : f'(x)=\cos^2x(\cos^2x-3\sin^2x) , η οποία μηδενίζεται αν : \tan^2x=\dfrac{1}{3}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12087
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ενδιαφέρον μέγιστο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιαν 25, 2023 9:46 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 21, 2023 8:37 am
Ενδιαφέρον μέγιστο.png\bigstar Από σημείο S της προέκτασης της διαμέτρου AOB=2r ενός ημικυκλίου , φέρουμε το εφαπτόμενο

τμήμα ST και ονομάζουμε P την προβολή του T στην OB και Q την προβολή του σημείου P στην ST .

Βρείτε το μέγιστο του (TPQ) και τη θέση του S για την οποία αυτό επιτυγχάνεται .
Μία πιο χρονοβόρα αντιμετώπιση.

Έστω BS=x. Είναι, \displaystyle ST = \sqrt {{x^2} + 2rx} και \displaystyle {r^2} = OP(r + x), απ' όπου παίρνω

\displaystyle OP = \frac{{{r^2}}}{{r + x}},PS = \frac{{{x^2} + 2rx}}{{r + x}}. Από τις παραλληλίες τώρα, έχω:
Ενδιαφέρον μέγιστο.Κ.png
Ενδιαφέρον μέγιστο.Κ.png (17.26 KiB) Προβλήθηκε 61 φορές
\displaystyle \frac{{TQ}}{{ST}} = \frac{{OP}}{{r + x}},\frac{{PQ}}{r} = \frac{{PS}}{{r + x}} \Rightarrow TQ = \frac{{{r^2}\sqrt {{x^2} + 2rx} }}{{{{(x + r)}^2}}},PQ = \frac{{{r^2}({x^2} + 2rx)}}{{{{(x + r)}^2}}}.

Άρα, \displaystyle (TPQ) = f(x) = \frac{{PQ \cdot TQ}}{2} = \frac{{{r^3}({x^2} + 2rx)\sqrt {{x^2} + 2rx} }}{{{{(x + r)}^4}}}

\displaystyle f'(x) =  - \frac{{{r^3}\sqrt {{x^2} + 2rx} (x + 3r)(x - r)}}{{2{{(x + r)}^5}}}, όπου εύκολα προκύπτει ότι για \boxed{x=r}} έχουμε

μέγιστο εμβαδόν \boxed{f(r) = \frac{{3{r^2}\sqrt 3 }}{{32}}} Στη συγκεκριμένη θέση είναι, T\widehat OS=60^\circ


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης