Ελαχιστοποίηση κιτρίνου

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13524
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελαχιστοποίηση κιτρίνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μάιος 19, 2022 7:07 am

Ελαχιστοποίηση  κιτρίνου.png
Ελαχιστοποίηση κιτρίνου.png (8.69 KiB) Προβλήθηκε 87 φορές
Το σημείο T βρίσκεται στην προέκταση της βάσης CB του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

με : TB=BC=a . Σημείο S κινείται επί της AC και η TS τέμνει την AB στο P .

Για ποια θέση του S ελαχιστοποιείται το (PTB)+(APS) ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11550
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελαχιστοποίηση κιτρίνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 19, 2022 10:00 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μάιος 19, 2022 7:07 am
Ελαχιστοποίηση κιτρίνου.png Το σημείο T βρίσκεται στην προέκταση της βάσης CB του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

με : TB=BC=a . Σημείο S κινείται επί της AC και η TS τέμνει την AB στο P .

Για ποια θέση του S ελαχιστοποιείται το (PTB)+(APS) ;
Επειδή (PTB)=(PBC), το πρόβλημα ανάγεται στην ελαχιστοποίηση του (APS)+(PBC). Θέτω AS=x.
Ελάχιστο κίτρινο.png
Ελάχιστο κίτρινο.png (16.48 KiB) Προβλήθηκε 69 φορές
Με Μενέλαο στο ABC και διατέμνουσα \displaystyle \overline {SPT} είναι:

\displaystyle \frac{{AP}}{{PB}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{{CS}}{x} = 1 \Leftrightarrow \frac{{AP}}{{a - AP}} \cdot \frac{{a - x}}{x} = 2, απ' όπου \displaystyle AP = \frac{{2ax}}{{a + x}},PB = \frac{{a(a - x)}}{{a + x}}

\displaystyle (APS) + (PBC) = f(x) = \frac{1}{2}x\frac{{2ax}}{{a + x}}\sin 60^\circ  + \frac{1}{2}\frac{{{a^2}(a - x)}}{{a + x}}\sin 60^\circ και τελικά

\displaystyle f(x) = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\left( {\frac{{2{x^2} - ax + {a^2}}}{{a + x}}} \right) με παράγωγο \displaystyle f'(x) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\left( {\frac{{{x^2} + 2ax - {a^2}}}{{{{(a + x)}^2}}}} \right), απ' όπου προκύπτει ότι

για \boxed{x = a\left( {\sqrt 2  - 1} \right)} έχουμε ελάχιστη τιμή \boxed{{f_{\min }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\left( {4\sqrt 2  - 5} \right)}


abgd
Δημοσιεύσεις: 296
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Ελαχιστοποίηση κιτρίνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Πέμ Μάιος 19, 2022 11:55 am


Διαφορετικά όσον αφορά την εύρεση της συνάρτησης του εμβαδού.

Αν M το μέσο της TS θα είναι \displaystyle{ BM= \frac{a-x}{2}}

Από την ομοιότητα των τριγώνων APS, BPM βρίσκουμε ότι: \displaystyle{ PB= \frac{a(a-x)}{a+x}}

\displaystyle{ E(x)=(TPS)+(ASP)=\frac{1}{2}BT\cdot PB\cdot sin120^o+\frac{1}{2}PA\cdot AS\cdot sin60^o}=....=\frac{a\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{2x^2-ax+a^2}{a+x}

....................


\mathbb{K}_{ostas}\sum{}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες