Ελαχιστοποίηση κιτρίνου

KARKAR · #1

: Ελαχιστοποίηση κιτρίνου.png (8.69 KiB) Προβλήθηκε 363 φορές

Το σημείο

βρίσκεται στην προέκταση της βάσης

του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

με :

. Σημείο

κινείται επί της

και η

τέμνει την

στο

.

Για ποια θέση του

ελαχιστοποιείται το (PTB)+(APS)

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 19, 2022 7:07 am
Ελαχιστοποίηση κιτρίνου.png Το σημείο βρίσκεται στην προέκταση της βάσης του ισοπλεύρου τριγώνου

με : . Σημείο κινείται επί της και η τέμνει την στο .

Για ποια θέση του ελαχιστοποιείται το ;

Επειδή

το πρόβλημα ανάγεται στην ελαχιστοποίηση του (APS)+(PBC).

Θέτω

: Ελάχιστο κίτρινο.png (16.48 KiB) Προβλήθηκε 345 φορές

Με Μενέλαο στο ABC

και διατέμνουσα $\displaystyle \overline {SPT}$ είναι:

$\displaystyle \frac{{AP}}{{PB}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{{CS}}{x} = 1 \Leftrightarrow \frac{{AP}}{{a - AP}} \cdot \frac{{a - x}}{x} = 2,$ απ' όπου $\displaystyle AP = \frac{{2ax}}{{a + x}},PB = \frac{{a(a - x)}}{{a + x}}$

$\displaystyle (APS) + (PBC) = f(x) = \frac{1}{2}x\frac{{2ax}}{{a + x}}\sin 60^\circ + \frac{1}{2}\frac{{{a^2}(a - x)}}{{a + x}}\sin 60^\circ$ και τελικά

$\displaystyle f(x) = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\left( {\frac{{2{x^2} - ax + {a^2}}}{{a + x}}} \right)$ με παράγωγο $\displaystyle f'(x) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\left( {\frac{{{x^2} + 2ax - {a^2}}}{{{{(a + x)}^2}}}} \right),$ απ' όπου προκύπτει ότι

για $\boxed{x = a\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}$ έχουμε ελάχιστη τιμή $\boxed{{f_{\min }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\left( {4\sqrt 2 - 5} \right)}$

abgd · #3

Διαφορετικά όσον αφορά την εύρεση της συνάρτησης του εμβαδού.

Αν

το μέσο της

θα είναι $\displaystyle{ BM= \frac{a-x}{2}}$

Από την ομοιότητα των τριγώνων APS

,

βρίσκουμε ότι: $\displaystyle{ PB= \frac{a(a-x)}{a+x}}$

$\displaystyle{ E(x)=(TPS)+(ASP)=\frac{1}{2}BT\cdot PB\cdot sin120^o+\frac{1}{2}PA\cdot AS\cdot sin60^o}=....=\frac{a\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{2x^2-ax+a^2}{a+x}$

....................

Ελαχιστοποίηση κιτρίνου

Ελαχιστοποίηση κιτρίνου

Re: Ελαχιστοποίηση κιτρίνου

Re: Ελαχιστοποίηση κιτρίνου

Μέλη σε σύνδεση