Μεγιστοποίηση του κόκκινου

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1673
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Μεγιστοποίηση του κόκκινου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Μάιος 17, 2022 4:33 pm

Το σημείο \displaystyle E κινείται πάνω στην πλευρά \displaystyle DC του τετραγώνου \displaystyle ABCD , με μήκος πλευράς \displaystyle 1.
Η \displaystyle HK είναι μεσοκάθετος του \displaystyle AE. Ποια θέση του \displaystyle E επιτυγχάνει τη μεγιστοποίηση του κόκκινου ;
Συνημμένα
square.png
square.png (12.11 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
abgd
Δημοσιεύσεις: 296
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Μεγιστοποίηση του κόκκινου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Τετ Μάιος 18, 2022 9:38 pm

exdx έγραψε:
Τρί Μάιος 17, 2022 4:33 pm
Το σημείο \displaystyle E κινείται πάνω στην πλευρά \displaystyle DC του τετραγώνου \displaystyle ABCD , με μήκος πλευράς \displaystyle 1.
Η \displaystyle HK είναι μεσοκάθετος του \displaystyle AE. Ποια θέση του \displaystyle E επιτυγχάνει τη μεγιστοποίηση του κόκκινου ;
Tetragono.png
Tetragono.png (44.75 KiB) Προβλήθηκε 63 φορές
Έστω \displaystyle{\Theta} η προβολή του \displaystyle{K} πάνω στην \displaystyle{A\Delta}.

Από την ισότητα των τριγώνων \displaystyle{\Theta KH, A\Delta E} έχουμε ότι \displaystyle{HK=AE}

Από την ομοιότητα των τριγώνων \displaystyle{AHZ, AE\Delta} έχουμε ότι: \displaystyle{AH=AE\cdot AZ=\frac{AE^2}{2}}

Έστω ότι \displaystyle{\Delta E=x}. Θα είναι:

\displaystyle{H\Theta=x, \ \ AE^2= 1+x^2,  \ \ AH =\frac{1+x^2}{2}, \ \  \Gamma K= \Theta \Delta = 1-AH+H \Theta=\frac{-x^2+2x+1}{2}}

Αν \displaystyle{E(x)} tο κόκκινο εμβαδόν τότε: \displaystyle{2E(x)=E\Gamma\cdot \Gamma K+EZ \cdot ZK +AZ \cdot ZH=E\Gamma\cdot \Gamma K+ \frac{AE}{2}\cdot HK= E\Gamma\cdot \Gamma K+ \frac{AE^2}{2}}
Κάνοντας τις πράξεις έχουμε:
\displaystyle{\boxed{E(x)=\frac{x^3-2x^2+x+2}{4}, \ \ x\in (0,1)} }

Η παράγωγος του \displaystyle{E(x)} είναι:

\displaystyle{E^{\prime}(x)=\frac{3x^2-4x+1}{4}=\frac{(x-1(3x-1)}{4}, \ \ x\in (0,1)}

Συνεπώς το \displaystyle{E(x)} μεγιστοποιείτε όταν \displaystyle{x=\frac{1}{3}}, δηλαδή όταν το \displaystyle{E} απέχει από το \displaystyle{\Delta} \displaystyle{\frac{1}{3}} μονάδες.


\mathbb{K}_{ostas}\sum{}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης