Μεγιστοποίηση του κόκκινου

#1

Το σημείο $\displaystyle E$ κινείται πάνω στην πλευρά $\displaystyle DC$ του τετραγώνου $\displaystyle ABCD$ , με μήκος πλευράς $\displaystyle 1$ .
Η $\displaystyle HK$ είναι μεσοκάθετος του $\displaystyle AE$ . Ποια θέση του $\displaystyle E$ επιτυγχάνει τη μεγιστοποίηση του κόκκινου ;

abgd · #2

exdx έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 17, 2022 4:33 pm
Το σημείο $\displaystyle E$ κινείται πάνω στην πλευρά $\displaystyle DC$ του τετραγώνου $\displaystyle ABCD$ , με μήκος πλευράς $\displaystyle 1$ .
Η $\displaystyle HK$ είναι μεσοκάθετος του $\displaystyle AE$ . Ποια θέση του $\displaystyle E$ επιτυγχάνει τη μεγιστοποίηση του κόκκινου ;

: Tetragono.png (44.75 KiB) Προβλήθηκε 62 φορές

Έστω $\displaystyle{\Theta}$ η προβολή του $\displaystyle{K}$ πάνω στην $\displaystyle{A\Delta}$ .

Από την ισότητα των τριγώνων $\displaystyle{\Theta KH, A\Delta E}$ έχουμε ότι $\displaystyle{HK=AE}$

Από την ομοιότητα των τριγώνων $\displaystyle{AHZ, AE\Delta}$ έχουμε ότι: $\displaystyle{AH=AE\cdot AZ=\frac{AE^2}{2}}$

Έστω ότι $\displaystyle{\Delta E=x}$ . Θα είναι:

$\displaystyle{H\Theta=x, \ \ AE^2= 1+x^2, \ \ AH =\frac{1+x^2}{2}, \ \ \Gamma K= \Theta \Delta = 1-AH+H \Theta=\frac{-x^2+2x+1}{2}}$

Αν $\displaystyle{E(x)}$ tο κόκκινο εμβαδόν τότε: $\displaystyle{2E(x)=E\Gamma\cdot \Gamma K+EZ \cdot ZK +AZ \cdot ZH=E\Gamma\cdot \Gamma K+ \frac{AE}{2}\cdot HK= E\Gamma\cdot \Gamma K+ \frac{AE^2}{2}}$
Κάνοντας τις πράξεις έχουμε:
$\displaystyle{\boxed{E(x)=\frac{x^3-2x^2+x+2}{4}, \ \ x\in (0,1)} }$

Η παράγωγος του $\displaystyle{E(x)}$ είναι:

$\displaystyle{E^{\prime}(x)=\frac{3x^2-4x+1}{4}=\frac{(x-1(3x-1)}{4}, \ \ x\in (0,1)}$

Συνεπώς το $\displaystyle{E(x)}$ μεγιστοποιείτε όταν $\displaystyle{x=\frac{1}{3}}$ , δηλαδή όταν το $\displaystyle{E}$ απέχει από το $\displaystyle{\Delta}$ $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ μονάδες.

Μεγιστοποίηση του κόκκινου

Μεγιστοποίηση του κόκκινου

Re: Μεγιστοποίηση του κόκκινου

Μέλη σε σύνδεση