Σταθερή συνάρτηση

#1

Δίνονται μία συνάρτηση

συνεχής στο [a,b]

και παραγωγίσιμη στο (a, b)

και μία συνάρτηση

με

για

τις οποίες υποθέτουμε ότι $\displaystyle g(x)f'(x) + f(x) = 1,$ για κάθε $x\in [a,b].$ Να δείξετε ότι η

είναι σταθερή στο [a,b].

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 21, 2022 2:19 pm
Δίνονται μία συνάρτηση συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο και μία συνάρτηση με για

τις οποίες υποθέτουμε ότι $\displaystyle g(x)f'(x) + f(x) = 1,$ για κάθε $x\in [a,b].$ Να δείξετε ότι η είναι σταθερή στο

Θέτοντας

και μετά

στην εξίσωση, συμπεραίνουμε ότι f(a)=f(b)=1

. Αν η

δεν ήταν σταθερή θα είχε κάποια τιμή είτε πιο μεγάλη είτε πιο μικρή από

. Χωρίς βλάβη έστω f(x_0)>1

για κάποιο εσωτερικό σημείο x_0

. Συμπεραίνουμε ότι το ολικό μέγιστο της συνάρτηση, έστω στο (εσωτερικό σημείο) $\xi$ , θα ικανοποιούσε $f(\xi) \ge f(x_0) >1$ . Αλλά τότε $f'(\xi) =0$ (λόγω ολικού μεγίστου), οπότε από την εξίσωση έχουμε $f(\xi )=1$ . Άτοπο.

Τελικά η συνάρτηση είναι σταθερή.

Σταθερή συνάρτηση

Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση