Μέγιστο εμβαδόν

#1

Η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της $\displaystyle f(x) = {e^{ - x}}$ στο σημείο $\displaystyle A(a,f(a))$ με $\displaystyle a > 0$ , τέμνει τους άξονες $\displaystyle xx',yy'$ στα σημεία $\displaystyle D,E$ , αντίστοιχα. Φέρουμε και τις $\displaystyle AB \bot xx',\,\,AC \bot yy'$ .
Να βρείτε τη μέγιστη τιμή των $\displaystyle (DOE),(CABO)$

#2

exdx έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 19, 2022 4:19 pm
Η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της $\displaystyle f(x) = {e^{ - x}}$ στο σημείο $\displaystyle A(a,f(a))$ με $\displaystyle a > 0$ , τέμνει τους άξονες $\displaystyle xx',yy'$ στα σημεία $\displaystyle D,E$ , αντίστοιχα. Φέρουμε και τις $\displaystyle AB \bot xx',\,\,AC \bot yy'$ .
Να βρείτε τη μέγιστη τιμή των $\displaystyle (DOE),(CABO)$

: Μέγιστο εμβαδόν.ΓΚ..png (8.2 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές

Η εφαπτομένη της C_f

στο

έχει εξίσωση $\displaystyle y = - {e^{ - a}}x + (a + 1){e^{ - a}},$ οπότε $\displaystyle D(a + 1,0),E\left( {0,(a + 1){e^{ - a}}} \right).$

Είναι, $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} (DOE) = g(a) = \dfrac{{{{(a + 1)}^2}{e^{ - a}}}}{2}\\ \\ (CABO) = h(a) = a{e^{ - a}} \end{array} \right.$ με παραγώγους $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} g'(a) = - \dfrac{1}{2}{e^{ - a}}(a - 1)(a + 1)\\ \\ h'(a) = - {e^{ - a}}(a - 1) \end{array} \right.,a > 0$

Άρα και οι δύο παρουσιάζουν για $\boxed{a=1}$ μέγιστο ίσο αντίστοιχα με $\boxed{g(1)=\frac{2}{e}}$ και $\boxed{h(1)=\frac{1}{e}}$

Μέγιστο εμβαδόν

Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση