ΑΠΟ ΣΗΜΕΙΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ

#1

Καλησπέρα

μιά ενδιαφέρουσα άσκηση αγνώστου πηγής από ένα μάθημα μου

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=\ln x,\,\,g(x)=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}$ . Ν α βρεθεί σημείο της γραφικής παράστασης της

από το οποίο άγονται κάθετες εφαπτόμενες προς την γραφικής παράστασης της

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#2

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 18, 2021 8:56 pm
Καλησπέρα
μιά ενδιαφέρουσα άσκηση αγνώστου πηγής από ένα μάθημα μου

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=\ln x,\,\,g(x)=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}$ . Ν α βρεθεί σημείο της γραφικής παράστασης της

από το οποίο άγονται κάθετες εφαπτόμενες προς την γραφικής παράστασης της

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Καλησπέρα Βασίλη

Ειμαι εκτός και γράφω απο το κινητό

Θα το διευκρινήσω αργότερα αναλυτικά

Οι κάθετες εφαπτόμενες παραβολής τέμνονται στη διευθετούσα αυτής και συνεπώς το ζητούμενο ( ειναι μοναδικό απο μονοτονία ) σημείο προκύπτει απο τη λυση του συστήματος των εξισώσεων της διευθετούσας της παραβολής και της

#3

Γεια σου Στάθη
τέλεια γεωμετρική λύση την οποία έδωσα και
εγώ σαν πρώτη σκέψη στο μάθημα
αλλά έχουν άγνοια από αναλυτική δυστυχώς...
μετά βρήκα και άλλη ενδιαφέρουσα
με ανάλυση....
να είσαι πάντα καλά...

#4

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 18, 2021 8:56 pm
Καλησπέρα
μιά ενδιαφέρουσα άσκηση αγνώστου πηγής από ένα μάθημα μου

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=\ln x,\,\,g(x)=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}$ . Ν α βρεθεί σημείο της γραφικής παράστασης της

από το οποίο άγονται κάθετες εφαπτόμενες προς την γραφικής παράστασης της

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Ας δώσουμε μια άλλη λύση Βασίλη (πέραν της ανάλυσης) αφού έχουν μαύρα μεσάνυχτα από αναλυτική γεωμετρία
Άμα δεν ξέρουν ούτε και αυτό να καθίσουν σπίτι τους στη ζεστασιά τους

Προφανώς η συνάρτηση $g\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}$ δεν δέχεται κατακόρυφη εφαπτόμενη.
Έστω $M\left( {{x}_{0}},\ln {{x}_{0}} \right)\in {{C}_{f}}$ και η ευθεία που διέρχεται από το

και έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda$ θα έχει εξίσωση : $y-\ln {{x}_{0}}=\lambda \left( x-{{x}_{0}} \right)$ . Για να εφάπτεται η εν λόγω ευθεία στην παραβολή $g\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}$ πρέπει το σύστημα τους να έχει διπλή ρίζα. Δηλαδή η εξίσωση $-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}=\lambda x+\ln {{x}_{0}}-\lambda {{x}_{0}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2\lambda x+2\left( \ln {{x}_{0}}-\lambda {{x}_{0}} \right)=0$ να έχει διπλή ρίζα ως προς

, άρα πρέπει $\Delta =0\Leftrightarrow 4{{\lambda }^{2}}+8\lambda {{x}_{0}}-8\ln {{x}_{0}}=0:\left( 1 \right)$ η οποία είναι δευτεροβάθμια ως προς $\lambda$ και για να είναι αυτές οι ευθείες κάθετες θα πρέπει το γινόμενο των ριζών της $\left( 1 \right)$ (δηλαδή το $\dfrac{\gamma }{\alpha }=\dfrac{-8\ln {{x}_{0}}}{4}=-1$ (κάθετες ευθείες έχουν συντελεστές διεύθυνσης με γινόμενο

) , δηλαδή $\ln {{x}_{0}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{x}_{0}}=\sqrt{e}$ και συνεπώς το ζητούμενο σημείο είναι το $M\left( \sqrt{e},\dfrac{1}{2} \right)$

ΑΠΟ ΣΗΜΕΙΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ

ΑΠΟ ΣΗΜΕΙΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ

Re: ΑΠΟ ΣΗΜΕΙΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ

Re: ΑΠΟ ΣΗΜΕΙΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ

Re: ΑΠΟ ΣΗΜΕΙΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ

Μέλη σε σύνδεση