Τετράπλευρο σε τεταρτοκύκλιο

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13152
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τετράπλευρο σε τεταρτοκύκλιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 26, 2021 8:39 pm

Τετράπλευρο σε τεταρτοκύκλιο.png
Τετράπλευρο σε τεταρτοκύκλιο.png (8.52 KiB) Προβλήθηκε 241 φορές
Η ημιευθεία Ox , έχει αρχή το κέντρο του τεταρτοκυκλίου \overset{\frown}{AB} , ακτίνας r και τέμνει το τόξο .

Φέρουμε τμήμα : AS \perp Ox . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου OASB .



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2199
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Τετράπλευρο σε τεταρτοκύκλιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Νοέμ 26, 2021 9:24 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 26, 2021 8:39 pm
Τετράπλευρο σε τεταρτοκύκλιο.pngΗ ημιευθεία Ox , έχει αρχή το κέντρο του τεταρτοκυκλίου \overset{\frown}{AB} , ακτίνας r και τέμνει το τόξο .

Φέρουμε τμήμα : AS \perp Ox . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου OASB .
Τα τρίγωνα OBT,OAS είναι ίσα ,γιατί είναι ορθογωνια και \dot{\hat{OBT}}=\hat{SOA}= 
 
\omega ,OB=OA=r, Αρα θέτω

OS=BT=w,OT=AS=t,(OASB)=(OAS)+(OBS)=\dfrac{1}{2}wt+\dfrac{1}{2}w^{2}=

\dfrac{1}{2}t.\sqrt{r^{2}-t^{2}}+\dfrac{1}{2}(r^{2}-t^{2})=f(t),

     f'(t)=0\Leftrightarrow 8t^{4}+r^{4}-8t^{2}r^{2}=0,x=\dfrac{r^{2}}{t^{2}},x^{2}-8x+8=0,

      

      x=4-2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},


t_{max}=\dfrac{r}{\sqrt{4-2\sqrt{2}}},f_{max}(\dfrac{r}{\sqrt{4-2\sqrt{2}}})
Συνημμένα
Tτράπλευρο σε τεταρτοκύκλιο.png
Tτράπλευρο σε τεταρτοκύκλιο.png (67.98 KiB) Προβλήθηκε 230 φορές
τελευταία επεξεργασία από STOPJOHN σε Σάβ Νοέμ 27, 2021 9:55 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8372
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τετράπλευρο σε τεταρτοκύκλιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Νοέμ 27, 2021 4:08 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 26, 2021 8:39 pm
Τετράπλευρο σε τεταρτοκύκλιο.pngΗ ημιευθεία Ox , έχει αρχή το κέντρο του τεταρτοκυκλίου \overset{\frown}{AB} , ακτίνας r και τέμνει το τόξο .

Φέρουμε τμήμα : AS \perp Ox . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου OASB .
Έστω OS = k\,\,,\,\,0 < k < r. Είναι προφανώς \omega  = \dfrac{\pi }{2} - x\,\,,\,\,0 < x < \dfrac{\pi }{2} \left( 1 \right) .

Το E = \left( {OASB} \right), είναι το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων , OAS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,OBS\,.

2E = rk\sin x + rk\cos x\,\, και αφού k = r\cos x η προηγούμενη γίνεται:

2E = {r^2}\left( {{{\cos }^2}x + \cos x\sin x} \right) \Rightarrow \boxed{4E = f(x) = {r^2}\left( {\cos 2x + \sin 2x + 1} \right)} \left( 2 \right).
Τετράπλευρο σε τεταρτοκύκλιο_κατασκευή.png
Τετράπλευρο σε τεταρτοκύκλιο_κατασκευή.png (11.11 KiB) Προβλήθηκε 205 φορές
Επειδή : {\left( {\cos \theta  + \sin \theta } \right)^2} = 1 + \sin 2\theta  \leqslant 1 + 1 = 2 \Rightarrow \left| {\cos \theta  + \sin \theta } \right| \leqslant \sqrt 2

Έτσι η \left( 2 \right) δίδει : f(x) \leqslant {r^2}\left( {1 + \sqrt 2 } \right) και άρα \boxed{{E_{\max }} = \dfrac{1}{4}{r^2}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}.

Στην σχέση : \cos 2x + \sin 2x \leqslant \sqrt 2 το ίσον ισχύει όταν 2x = \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{8}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11175
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τετράπλευρο σε τεταρτοκύκλιο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 27, 2021 5:43 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 26, 2021 8:39 pm
Τετράπλευρο σε τεταρτοκύκλιο.pngΗ ημιευθεία Ox , έχει αρχή το κέντρο του τεταρτοκυκλίου \overset{\frown}{AB} , ακτίνας r και τέμνει το τόξο .

Φέρουμε τμήμα : AS \perp Ox . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου OASB .
Έστω S(x,y).
Τετράπλευρο σε τεταρτοκύκλιο.png
Τετράπλευρο σε τεταρτοκύκλιο.png (10.79 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές
\displaystyle (OASB) = (OAS) + (OBS) = \frac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
r&0\\ 
x&y 
\end{array}} \right|| + \frac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
0&r\\ 
x&y 
\end{array}} \right|| = \frac{r}{2}(x + y) = \frac{r}{2}\left( {x + \sqrt {x(r - x)} } \right)

Είναι λοιπόν, \displaystyle (OASB) = f(x) = \frac{r}{2}\left( {x + \sqrt {x(r - x)} } \right),0 < x < r

με \displaystyle f'(x) = \frac{r}{2}\left( {\frac{{r - 2x}}{{2\sqrt {x(r - x)} }} + 1} \right), απ' όπου βρίσκω ότι για \boxed{x = \frac{r}{4}\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}

έχει μέγιστη τιμή \boxed{{(OASB)_{\max }} = \frac{{{r^2}}}{4}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Κυρ Νοέμ 28, 2021 8:29 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 249
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Τετράπλευρο σε τεταρτοκύκλιο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Σάβ Νοέμ 27, 2021 11:21 pm

Δίνω και μια γεωμετρική προσέγγιση ... που ίσως δεν άπτεται του φακέλου ... αλλά νομίζω ωφελεί.
Έστω D η τομή της AS με τον κύκλο (O,r). Καθώς η Ox διαγράφει τον κύκλο (O,r) και το D άρα
θα διαγράψει τον ίδιο κύκλο, και επειδή AS = AD/2 το S θα διαγράψει τον κύκλο (K,r/2). Επειδή τώρα

\displaystyle{ 
(OASB)_{max} = ((OAB)+(ASB))_{max} = (OAB) + (ASB)_{max} 
}

το (ASB)_{max} προφανώς επιτυγχάνεται όταν μεγιστοποιείται το FS δηλαδή όταν A\widehat{K}S = \pi / 4.
Εύκολα τότε βρίσκω για αυτή την θέση

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& FS = {r \over 4}(2-\sqrt{2}),  \ \ \ (ASB)_{max} = {r^2 \over 4}(\sqrt{2}-1) \cr 
& (OASB)_{max} = (OAB) + (ASB)_{max} =  {r^2 \over 2} + {r^2 \over 4}(\sqrt{2}-1) = {r^2 \over 4}(\sqrt{2}+1) 
\end{aligned} 
}
Συνημμένα
rsz_1tetramax22.png
rsz_1tetramax22.png (61.17 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8372
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τετράπλευρο σε τεταρτοκύκλιο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Νοέμ 27, 2021 11:28 pm

nickchalkida έγραψε:
Σάβ Νοέμ 27, 2021 11:21 pm
Δίνω και μια γεωμετρική προσέγγιση ... που ίσως δεν άπτεται του φακέλου ... αλλά νομίζω ωφελεί.
Έστω D η τομή της AS με τον κύκλο (O,r). Καθώς η Ox διαγράφει τον κύκλο (O,r) και το D άρα
θα διαγράψει τον ίδιο κύκλο, και επειδή AS = AD/2 το S θα διαγράψει τον κύκλο (K,r/2). Επειδή τώρα

\displaystyle{ 
(OASB)_{max} = ((OAB)+(ASB))_{max} = (OAB) + (ASB)_{max} 
}

το (ASB)_{max} προφανώς επιτυγχάνεται όταν μεγιστοποιείται το FS δηλαδή όταν A\widehat{K}S = \pi / 4.
Εύκολα τότε βρίσκω για αυτή την θέση

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& FS = {r \over 4}(2-\sqrt{2}),  \ \ \ (ASB)_{max} = {r^2 \over 4}(\sqrt{2}-1) \cr 
& (OASB)_{max} = (OAB) + (ASB)_{max} =  {r^2 \over 2} + {r^2 \over 4}(\sqrt{2}-1) = {r^2 \over 4}(\sqrt{2}+1) 
\end{aligned} 
}
:coolspeak:


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2173
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τετράπλευρο σε τεταρτοκύκλιο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Νοέμ 28, 2021 2:08 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 26, 2021 8:39 pm
Τετράπλευρο σε τεταρτοκύκλιο.pngΗ ημιευθεία Ox , έχει αρχή το κέντρο του τεταρτοκυκλίου \overset{\frown}{AB} , ακτίνας r και τέμνει το τόξο .

Φέρουμε τμήμα : AS \perp Ox . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου OASB .
Θεωρούμε τον περίκυκλο του τριγώνου OAB τον οποίο η κάθετος από το B στην

OS τέμνει στο C οπότε,το DSAC είναι ορθογώνιο

Είναι (BSA)=(SCA)=(OCA) άρα (OASB)=(OCAB) κι επειδή

(OAB)=  \dfrac{r^2}{2} αρκεί να γίνει μέγιστο το (OCA)

Αλλά η βάση OA=r είναι σταθερή,συνεπώς αρκεί το ύψος CE να γίνει μέγιστο ,που

συμβαίνει όταν C είναι μέσον του τόξου OA

Είναι EC=MC-ME=MA-ME= \dfrac{r( \sqrt{2}-1) }{2} κι εύκολα  (OASB)_{max}=(OCAB)= \dfrac{r^2}{4}  ( \sqrt{2} +1)
ελαχιστο.png
ελαχιστο.png (353.73 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης