Εκατό φορές

KARKAR · #1

Για τους θετικούς αριθμούς

και

, ισχύει : x+y=a

(

σταθερό ) .

Βρείτε την τιμή του ακεραίου

, για την οποία το μέγιστο της παράστασης :

A(x) = xy(x^2+y^2)

, υπερβαίνει το $100\phi$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 23, 2021 12:39 pm
Για τους θετικούς αριθμούς και , ισχύει : ( σταθερό ) .

Βρείτε την τιμή του ακεραίου , για την οποία το μέγιστο της παράστασης :

, υπερβαίνει το $100\phi$ .

Θέτω $\displaystyle xy = t$ και η παράσταση γράφεται $\displaystyle f(t) = t({a^2} - 2t) = - 2{t^2} + {a^2}t,$ που έχει μέγιστη τιμή $\displaystyle f\left( {\frac{{{a^2}}}{4}} \right) = \frac{{{a^4}}}{8}$

$\displaystyle \frac{{{a^4}}}{8} > 100\Phi \Leftrightarrow {a^4} > 800\Phi \simeq 1294,427$

Ο μικρότερος ακέραιος

που το επαληθεύει είναι $\boxed{a=6}$

#3

Αλλιώς, $\displaystyle A(x) = x(a - x)\left( {{x^2} + {{(a - x)}^2}} \right) = - 2{x^4} + 4a{x^3} - 3{a^2}{x^2} + {a^3}x$

$\displaystyle A'(x) = - 8{x^3} + 12a{x^2} - 6{a^2}x + {a^3} = {(a - 2x)^3}$ με μέγιστη τιμή $\displaystyle A\left( {\frac{a}{2}} \right) = \frac{{{a^4}}}{8},$ κλπ (όπως πριν).

Εκατό φορές

Εκατό φορές

Re: Εκατό φορές

Re: Εκατό φορές

Μέλη σε σύνδεση