Γεωμετρική ερμηνεία

#1

α) Έχουμε ένα κύκλο ακτίνας

Εμβαδόν κύκλου : $E(x) = \pi {x^2}\,\,,\,\,E'\left( x \right) = 2\pi x$ = μήκος του κύκλου.

β) Εχουμε μια σφαίρα ακτίνας

Όγκος σφαίρας : $V\left( x \right) = \dfrac{4}{3}\pi {x^3}\,\,,\,\,V'\left( x \right) = 4\pi {x^2}$ = επιφάνεια της σφαίρας.

Ποια η γεωμετρική ερμηνεία των παραπάνω ;

Christos.N · #2

Με αντίστροφη σκέψη , αν ολοκληρώσουμε όλα τα μήκη στο διάστημα [0,x]

προκύπτει το εμβαδόν και αντίστοιχα όλες τις επιφάνειες ο όγκος.

#3

Christos.N έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 21, 2021 12:36 pm
Με αντίστροφη σκέψη , αν ολοκληρώσουμε όλα τα μήκη στο διάστημα προκύπτει το εμβαδόν και αντίστοιχα όλες τις επιφάνειες ο όγκος.

H υπέροχη αυτή μέθοδος γενικεύεται. Στην ξένη βιβλιογραφία ονομάζεται "shell method of integration" και στα ελληνικά έχει αποδοθεί ως "μέθοδος των κελύφων".

Η παλαιότερη χρήση της που έχω δει (αλλά δεν ξέρω αν είναι πράγματι η παλαιότερη, αν και το έχω ψάξει εκτενώς) είναι από τον γνωστό κυρίως από την Φυσική Evangelista Torricelli (1608-1648), μαθητή του Γαλιλαίου. Την χρησιμοποιεί αριστοτεχνικά (πριν από τον Ολοκληρωτικό Λογισμό) για να βρει τον όγκο εκ περιστροφής μιας υπερβολής.

Έβαλα στο Google την φράση shell method of integration και έβγαλε ωραιότατο υλικό. Όμως δεν φαίνεται να ξέρουν οι εν λόγω παραπομπές τα περί Torricelli που ανέφερα, ούτε να δίνουν παραπομπές σε μεθόδους της εποχής του.

nickchalkida · #4

Φαντάσου την σφαίρα και τον κύκλο τεμαχισμένα όπως στο παρακάτω σχήμα ...
(είναι η γεωμετρική ερμηνεία που εγώ τους δίνω)

stranger · #5

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 21, 2021 12:22 pm
α) Έχουμε ένα κύκλο ακτίνας

Εμβαδόν κύκλου : $E(x) = \pi {x^2}\,\,,\,\,E'\left( x \right) = 2\pi x$ = μήκος του κύκλου.

β) Εχουμε μια σφαίρα ακτίνας

Όγκος σφαίρας : $V\left( x \right) = \dfrac{4}{3}\pi {x^3}\,\,,\,\,V'\left( x \right) = 4\pi {x^2}$ = επιφάνεια της σφαίρας.

Ποια η γεωμετρική ερμηνεία των παραπάνω ;

Η σωστή γεωμετρική ερμηνεία έγκειται στο γεγονός ότι αν για παράδειγμα θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδό μιας μπάλας στον $\mathbb{R}^2$ τότε ολοκληρώνουμε τη συνάρτηση

πάνω στη μπάλα που είναι διαισθητικά το ίδιο με το να αθροίσουμε τα ολοκληρώματα πάνω σε όλους τους κύκλους που όλοι μαζί φτιάχνουνε τη μπάλα.
Αυτή η άθροιση ουσιαστικά έχει να κάνει με το ολοκλήρωμα ως προς το μέτρο Haussdorf H^1

στον $\mathbb{R}^2$ .
Αυτό το ολοκλήρωμα είναι φτιαγμένο έτσι ώστε να μετράει μήκος αντικειμένων μιας διάστασης στον $\mathbb{R}^2$ .
Σε τύπους έχουμε
$|B(0,r)| = \int_{B(0,r)} 1 dx = \int_{0}^{r} \int_{C(0,s)} 1 d H^1(x) ds$
Μετά παραγωγίζοντας ως προς

παίρνουμε από το θεμελιώδες θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού ότι η παράγωγος του εμβαδού είναι το μήκος, που είναι πάνω στην ερώτηση που έκανες.

Σημείωση: Τώρα είδα ότι είμαστε σε φάκελο Λυκείου.Το αφήνω σαν κάτι που κάποιος μαθητής Λυκείου θα ήθελε να το μάθει στο μέλλον.

Γεωμετρική ερμηνεία

Γεωμετρική ερμηνεία

Re: Γεωμετρική ερμηνεία

Re: Γεωμετρική ερμηνεία

Re: Γεωμετρική ερμηνεία

Re: Γεωμετρική ερμηνεία

Μέλη σε σύνδεση