Τρίγωνο σε έλλειψη
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5224
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Τρίγωνο σε έλλειψη
Να εγγράψετε σε δοθείσα έλλειψη όπου τρίγωνο με το μέγιστο εμβαδόν.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5224
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5224
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Τρίγωνο σε έλλειψη
Επαναφορά. Το αποτέλεσμα που έχω είναι . Δυστυχώς έχασα τη λύση.
Edit: Ίσως αυτή η ανάρτηση να βοηθάει.
Edit: Ίσως αυτή η ανάρτηση να βοηθάει.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Τρίγωνο σε έλλειψη
Χωρίς λογισμό:
Ας είναι η έλλειψη και ας είναι τρία σημεία αυτής.
Από τη γνωστή σχέση
βρίσκουμε μετά τις πράξεις
.
Όμως είναι γνωστό ( ) ότι αν τότε
Όποτε
Ας είναι η έλλειψη και ας είναι τρία σημεία αυτής.
Από τη γνωστή σχέση
βρίσκουμε μετά τις πράξεις
.
Όμως είναι γνωστό ( ) ότι αν τότε
Όποτε
Μάγκος Θάνος
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Τρίγωνο σε έλλειψη
Με χρήση Λογισμού ... μία 'κατασκευαστική' απόδειξη που μας δίνει τα μέγιστα εγγεγραμμένα τρίγωνα:
Έστω τρίγωνο μεγίστου εμβαδού εγγεγραμμένο στην έλλειψη με Είναι φανερό ότι η οφείλει να είναι παράλληλη προς την εφαπτομένη στο άρα αν είναι η εξίσωση της ισχύει η Θα δείξουμε ότι για κάθε προκύπτει ένα τρίγωνο μεγίστου εμβαδού με
Για το εμβαδόν του τυχόντος εγγεγραμμένου τριγώνου ισχύει βεβαίως η όπου η απόσταση του από την Θα εκφράσουμε το ως συνάρτηση του και θα επιδιώξουμε την μεγιστοποίηση της.
Για την παρατηρούμε ότι όπου τα είναι ρίζες της δευτεροβάθμιας οπότε και προκύπτει από όλα αυτά η
Για την παρατηρούμε ότι από τις και προκύπτουν (αβλαβώς υποθέτοντας ) οι και και τελικά η
Συμπεραίνουμε ότι Ο μηδενισμός της είναι ισοδύναμος προς την που συνεπάγεται μεγιστοποίηση για
Εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει η ζητούμενη ότι δηλαδή για κάθε σημείο επί της έλλειψης υπάρχει μεγίστου εμβαδού εγγεγραμμένο τρίγωνο ... επαληθεύοντας την ήδη επισημανθείσα (εδώ) γεωμετρική/προβολική φύση του προβλήματος.
Έστω τρίγωνο μεγίστου εμβαδού εγγεγραμμένο στην έλλειψη με Είναι φανερό ότι η οφείλει να είναι παράλληλη προς την εφαπτομένη στο άρα αν είναι η εξίσωση της ισχύει η Θα δείξουμε ότι για κάθε προκύπτει ένα τρίγωνο μεγίστου εμβαδού με
Για το εμβαδόν του τυχόντος εγγεγραμμένου τριγώνου ισχύει βεβαίως η όπου η απόσταση του από την Θα εκφράσουμε το ως συνάρτηση του και θα επιδιώξουμε την μεγιστοποίηση της.
Για την παρατηρούμε ότι όπου τα είναι ρίζες της δευτεροβάθμιας οπότε και προκύπτει από όλα αυτά η
Για την παρατηρούμε ότι από τις και προκύπτουν (αβλαβώς υποθέτοντας ) οι και και τελικά η
Συμπεραίνουμε ότι Ο μηδενισμός της είναι ισοδύναμος προς την που συνεπάγεται μεγιστοποίηση για
Εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει η ζητούμενη ότι δηλαδή για κάθε σημείο επί της έλλειψης υπάρχει μεγίστου εμβαδού εγγεγραμμένο τρίγωνο ... επαληθεύοντας την ήδη επισημανθείσα (εδώ) γεωμετρική/προβολική φύση του προβλήματος.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Τρίγωνο σε έλλειψη
Με τον μετασχηματισμό η έλλειψη γίνεται κύκλος με ακτίναTolaso J Kos έγραψε: ↑Τετ Ιούλ 07, 2021 4:36 pmΝα εγγράψετε σε δοθείσα έλλειψη όπου τρίγωνο με το μέγιστο εμβαδόν.
Με τον μετασχηματισμό αυτό το εμβαδόν ενός εγγεγραμμένου στην έλλειψη τριγώνου διαιρείται δια και το
ίδιο παθαίνει το εμβαδόν της έλλειψης που γίνεται κύκλος. Συνεπώς ο λόγος των εμβαδών διατηρείται.
Αρκεί λοιπόν να λύσουμε το πρόβλημα στον κύκλο.
Στον κύκλο το εγγεγραμμένο τρίγωνο μέγιστου εμβαδού είναι το ισόπλευρο με
Με τον αντίστροφο μετασχηματισμό βρίσκουμε τελικά ότι το εγγεγραμμένο στην έλλειψη τρίγωνο μέγιστου εμβαδού έχει
Re: Τρίγωνο σε έλλειψη
"Προβάλουμε" κάθε σημείο της έλλειψης στον κύκλο αντιστοιχώντας το σημείο στο σημείο .
Αν τρία διαφορετικά σημεία της έλλειψης και οι "προβολές" τους στον μοναδιαίο κύκλο, ισχύει:
,
όπου το εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο στον μοναδιαίο κύκλο, για το οποίο θεωρούμε γνωστό ότι έχει το μέγιστο εμβαδό.
Για την κατασκευή του μέγιστου τριγώνου της έλλειψης εργαζόμαστε ως εξής:
"Προβάλουμε" ένα τυχαίο σημείο της έλλειψης στο του κύκλου.
Κατασκευάζουμε το ισόπλευρο, εγγεγραμμένο στον μοναδιαίο κύκλο, τρίγωνο και βρίσκουμε τα σημεία της έλλειψης που οι "προβολές" τους στον κύκλο είναι τα .
To είναι το ζητούμενο τρίγωνο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες