Μέγιστο ειδικό εγγεγραμμένο

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12627
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο ειδικό εγγεγραμμένο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιουν 10, 2021 8:48 pm

Μέγιστο  ειδικό  εγγεγραμμένο.png
Μέγιστο ειδικό εγγεγραμμένο.png (15.03 KiB) Προβλήθηκε 197 φορές
Οι κορυφές B , C , A , τριγώνου ABC είναι οι τομές των ευθειών y=-a και x=-a ( η "βόρεια" ) ,

με τον κύκλο (O,4) . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν αυτού του τριγώνου . ( Φυσικά : 0<a<4 ) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4613
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο ειδικό εγγεγραμμένο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιουν 10, 2021 9:25 pm

Η εξίσωση του κύκλου \mathcal{C} είναι η x^2+y^2=4.

\displaystyle{\begin{tikzpicture} 
\draw (0, 0) circle(4cm); 
\draw[dashed] (-4.6, -2) -- (4.4, -2); 
\draw[dashed] (-2, -4) -- (-2, 4); 
\draw[fill=black] (0, 0) circle(2pt); 
\draw[line width=1.6pt, cyan] (-3.46, -2) -- (-2, 3.46) -- (3.46, -2) -- cycle; 
\draw (-2, 3.46) node[above left]{A}; 
\draw (-3.46, -2) node[below left]{B}; 
\draw (3.46, -2) node[below right]{\text{\gr Γ}}; 
\draw (0, 0) node[below]{O}; 
\end{tikzpicture}}


Η ευθεία y=-a τέμνει τον κύκλο στα σημεία \mathrm{B} \left (-\sqrt{4-a^2} , -a  \right) και \Gamma \left (\sqrt{4-a^2} , -a  \right ). Τέλος, το "βόρειο" σημείο στο οποίο τέμνει η ευθεία x=-a τον κύκλο είναι το \mathrm{A} \left (-a , \sqrt{4-a^2}  \right ). Απλοί υπολογισμοί δείχνουν ότι \mathrm{AB} = 2 \sqrt{2} , \mathrm{B} \Gamma = 2 \sqrt{4-a^2} και \mathrm{A} \Gamma = 2 \sqrt{a \sqrt{4-a^2}+2}. Ο Ήρωνας μας λέει ότι



\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{A} &= \frac{1}{4} \sqrt{4 \alpha^2 \beta^2 - \left ( \alpha^2 + \beta^2 - \gamma^2 \right )^2} \\  
 &= \frac{1}{4} \sqrt{4 \cdot \left ( 2 \sqrt{4-a^2} \right )^2 \cdot \left ( 2 \sqrt{a \sqrt{4-a^2}+2} \right )^2 - \left ( \left ( 2\sqrt{4-a^2} \right )^2 + \left ( 2 \sqrt{a \sqrt{4-a^2}+2} \right )^2 - \left ( 2\sqrt{2} \right )^2 \right )^2} \\  
 &= \frac{1}{4} \sqrt{4 \cdot 4 \left ( 4-a^2 \right ) \cdot 4 \left ( a \sqrt{4-a^2} + 2 \right )  -32 \left ( 4-a^2 \right ) \left ( a \sqrt{4-a^2}+2 \right )  } \\  
 &= \sqrt{2} \sqrt{\left ( 4-a^2 \right ) \left ( a \sqrt{4-a^2} + 2  \right )} 
\end{aligned}}
το οποίο μεγιστοποιείται όταν x=\sqrt{2-\sqrt{2}} . Η μέγιστη τιμή τότε είναι 2 (1+\sqrt{2} ).


Παναγία μου βοήθα... ! Δε λέω η μέγιστη τιμή είναι στρωτή αλλά όχι ο Ήρωνας... !! Καλώ τους γεωμέτρες να βρούνε στρωτή λύση ...


Ουπς: Έλυσα την άσκηση για λάθος κύκλο. Έβαλα την ακτίνα του να είναι 2. Αφήνω την λύση ως κεντρική ιδέα της λύσης μου.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7974
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο ειδικό εγγεγραμμένο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιουν 10, 2021 11:18 pm

Έστω D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M τα σημεία που οι ευθείες x =  - a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y =  - a τέμνουν του άξονες .

Επίσης CT είναι το ύψος του \vartriangle ABC και S το σημείο που η ευθεία CO τέμνει την AB.

Τα ορθογώνια τρίγωνα \vartriangle DOA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle MOB έχουν κάθετες πλευρές,OD,OM ίσες και τις υποτείνουσες άρα είναι ίσα
Μέγιστο ειδικό εγγεγραμμένο.png
Μέγιστο ειδικό εγγεγραμμένο.png (21.83 KiB) Προβλήθηκε 147 φορές
Άμεσες συνέπειες: \widehat {AOB} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {ACB} = 45^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = 4\sqrt 2 .

Επειδή CT \leqslant CS το μέγιστο εμβαδόν \left( {ABC} \right) θα το πιάσουμε όταν T \equiv S και

\boxed{{{\left( {ABC} \right)}_{\max }} = \frac{1}{2}AB \cdot CT = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt 2 \left( {4 + 2\sqrt 2 } \right) = 8\left( {\sqrt {2 }+1 } \right)}

Προφανώς το τρίγωνο ABC τότε είναι ισοσκελές με κορυφή το C.

Παρατήρηση :

Η άσκηση είναι Καρδιτσιώτικη :lol: μετάλλαξη της περυσινής άσκησης των Πανελληνίων ( η 3 από τις γενικές του διαφορικού λογισμού του σχολικού βιβλίου )


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12627
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μέγιστο ειδικό εγγεγραμμένο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιουν 11, 2021 7:06 am

Μέγιστο  ειδικό  εγγεγραμμένο.png
Μέγιστο ειδικό εγγεγραμμένο.png (18.15 KiB) Προβλήθηκε 119 φορές
Η λύση του Τόλη , από την εύρεση των σημείων και μετά μπορεί να απλοποιηθεί κατά πολύ , χρησιμοποιώντας

τον τύπο με την ορίζουσα , που δίνει : A(a)=4-a^2+a\sqrt{4-a^2} ( βέβαια το 4 πρέπει να γίνει 16 ) .

Η έξοχη λύση του Νίκου , μπορεί να γίνει πιο οικεία στον μαθητή , ως εξής ( βλέπε το σχήμα ) :

E(x)=\dfrac{1}{2}\cdot(2\sqrt{16-x^2})\cdot (x+\sqrt{16-x^2})=16-x^2+x\sqrt{16-x^2} κ.λ.π.

Νίκο , όχι , δεν μου πέρασε από το μυαλό η συσχέτιση που "είδες" :!: ;)


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 170
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο ειδικό εγγεγραμμένο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Παρ Ιουν 11, 2021 1:32 pm

Ο γ.τ. του D είναι η ευθεία y=x. Επειδή το DAC είναι ορθογώνιο ισοσκελές A\widehat{C}D = D\widehat{A}C = 45^o
συνεπάγεται ότι το μήκος του AB είναι σταθερό και ίσο με \sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt{2}.
Δηλαδή το (ABC) μεγιστοποιείται όταν το MC μεγιστοποιείται, που συμβαίνει όταν η MC συμπέσει
με την διάμετρο HK και είναι τότε \displaystyle MC_{max} = {AB \over \sqrt{2}}+4, (το K είναι κορυφή κανονικού 16γώνου). Τότε λοιπόν

\displaystyle{ 
(ABC)_{max} = {1\over 2} AB \cdot MC_{max} = {1\over 2} AB \left( {AB \over \sqrt{2}}+4 \right) = 8(\sqrt{2}+1) 
}
Συνημμένα
rsz_maxeidiko.png
rsz_maxeidiko.png (87.69 KiB) Προβλήθηκε 73 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες