Όριο

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το όριο

$\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^{\sqrt{\ln x}}\left ( \sqrt{\ln x} \right )^x}{\left ( \sqrt{x} \right )^{\ln x} \left ( \ln x \right )^{\sqrt{x}}}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 29, 2021 8:24 pm
Να υπολογιστεί το όριο

$\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^{\sqrt{\ln x}}\left ( \sqrt{\ln x} \right )^x}{\left ( \sqrt{x} \right )^{\ln x} \left ( \ln x \right )^{\sqrt{x}}}}$

Το όριο είναι $\infty$

Μάλιστα και ο όρος $\displaystyle x^{\sqrt{\ln x}}$ που πάει στο $\infty$ δεν χρειάζεται.

Για $x\geq e^4$
εχουμε

$\displaystyle (\sqrt{\ln x})^{x}\geq 2^{x}=e^{x\ln2}$

Επίσης είναι

$\displaystyle (\sqrt{x})^{\ln x }(\ln x)^{\sqrt{x}}=e^{\frac{1}{2}(\ln x)^2+\sqrt{x}\ln (\ln x)}$

Ετσι η παράσταση χωρίς τον όρο που δεν χρειάζεται είναι μεγαλύτερη από

$\displaystyle e^{x \ln 2-(\frac{1}{2}(\ln x)^2+\sqrt{x}\ln (\ln x))}$

Αλλά
$\displaystyle x \ln 2-(\frac{1}{2}(\ln x)^2+\sqrt{x}\ln (\ln x))=\sqrt{x}(\sqrt{x}\ln 2-\frac{(\ln x)^2}{2\sqrt{x}}-\ln(\ln x))$

που εύκολα βλέπουμε ότι πάει στο $\infty$

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση