Όριο

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4584
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μάιος 04, 2021 2:23 pm

Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο (1, +\infty) τέτοια ώστε \left | f'(x) \right | \leq \frac{1}{x} για κάθε x>1. Να δειχθεί ότι

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \left ( f \left ( x + \sqrt{x} \right )  - f(x)  \right ) = 0 }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 390
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τρί Μάιος 04, 2021 4:02 pm

Από ΘΜΤ έχουμε ότι για κάθε x>1 υπάρχει \xi \in (x, x+\sqrt{x}) ώστε |f(x+\sqrt{x})-f(x)| = |\sqrt{x} f^{\prime}(\xi)|.
Όμως |f^{\prime}(\xi)| \leq \frac{1}{\xi} από υπόθεση.
Άρα |f(x+\sqrt{x})-f(x)| = |\sqrt{x} f^{\prime}(\xi)| \leq \frac{\sqrt{x}}{\xi} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\xi}} \frac{1}{\sqrt{\xi}}.
Όμως \xi > x, άρα \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\xi}} \leq 1, το οποίο αποδεικνύει ότι |f(x+\sqrt{x})-f(x)| \leq \frac{1}{\sqrt{\xi}}.
Όμως \xi > x, το οποίο δείχνει ότι \lim_{x \rightarrow \infty}{\frac{1}{\sqrt{\xi}}} = 0 και το συμπέρασμα έπεται.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες