Όριο

Tolaso J Kos · #1

Έστω

παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $(1, +\infty)$ τέτοια ώστε $\left | f'(x) \right | \leq \frac{1}{x}$ για κάθε x>1

. Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \left ( f \left ( x + \sqrt{x} \right ) - f(x) \right ) = 0 }$

stranger · #2

Από ΘΜΤ έχουμε ότι για κάθε x>1

υπάρχει $\xi \in (x, x+\sqrt{x})$ ώστε $|f(x+\sqrt{x})-f(x)| = |\sqrt{x} f^{\prime}(\xi)|$ .
Όμως $|f^{\prime}(\xi)| \leq \frac{1}{\xi}$ από υπόθεση.
Άρα $|f(x+\sqrt{x})-f(x)| = |\sqrt{x} f^{\prime}(\xi)|$ $\leq \frac{\sqrt{x}}{\xi} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\xi}} \frac{1}{\sqrt{\xi}}$ .
Όμως $\xi > x$ , άρα $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\xi}} \leq 1$ , το οποίο αποδεικνύει ότι $|f(x+\sqrt{x})-f(x)| \leq \frac{1}{\sqrt{\xi}}$ .
Όμως $\xi > x$ , το οποίο δείχνει ότι $\lim_{x \rightarrow \infty}{\frac{1}{\sqrt{\xi}}} = 0$ και το συμπέρασμα έπεται.

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση