Επί του διαφορικού

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4584
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Επί του διαφορικού

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μάιος 04, 2021 2:09 pm

Έστω \alpha, \beta, \kappa, \lambda \in \mathbb{R} με \alpha<\beta και \kappa, \lambda θετικοί αριθμοί. Η συνάρτηση \Sigma είναι διπλά παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} και τέτοια ώστε


\displaystyle{\left ( \kappa + \lambda \right ) \Sigma(x) \leq \kappa \Sigma (\alpha) + \lambda \Sigma (\beta) \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}

Να αποδειχθεί ότι:

  1. \Sigma(\alpha) = \Sigma(\beta).
  2. \Sigma'(\alpha) = \Sigma'(\beta).
  3. υπάρχει \xi \in (\alpha, \beta) τέτοιο ώστε \Sigma''(\xi) =0.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13337
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Επί του διαφορικού

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Μάιος 05, 2021 12:02 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Μάιος 04, 2021 2:09 pm
Έστω \alpha, \beta, \kappa, \lambda \in \mathbb{R} με \alpha<\beta και \kappa, \lambda θετικοί αριθμοί. Η συνάρτηση \Sigma είναι διπλά παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} και τέτοια ώστε


\displaystyle{\left ( \kappa + \lambda \right ) \Sigma(x) \leq \kappa \Sigma (\alpha) + \lambda \Sigma (\beta) \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}

Να αποδειχθεί ότι:

  1. \Sigma(\alpha) = \Sigma(\beta).
  2. \Sigma'(\alpha) = \Sigma'(\beta).
  3. υπάρχει \xi \in (\alpha, \beta) τέτοιο ώστε \Sigma''(\xi) =0.
α) Για x=a παίρνουμε  \lambda \Sigma (a) \le \lambda \Sigma (b) , οπότε  \Sigma (a) \le \Sigma (b). Όμοια  \Sigma (b) \le \Sigma (a), από όπου έπεται το πρώτο ζητούμενο.

β) (Με βελτίωση του ζητούμενου). Με χρήση του α) η αρχική γράφεται ( \kappa + \lambda  ) \Sigma(x) \leq (\kappa + \lambda ) \Sigma (a), άρα για κάθε x είναι \Sigma(x) \le \Sigma(a). Άρα \Sigma(a) ολικό μέγιστο, οπότε \Sigma ' (a) =0. Όμοια \Sigma ' (b) =0, οπότε \Sigma ' (a) =\Sigma ' (b) =0.

γ) Άμεσο από το β) με Rolle.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες