Ενδιαφέρουσα μελέτη

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12736
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ενδιαφέρουσα μελέτη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Απρ 22, 2021 8:18 pm

Α) Αν μια συνάρτηση f , είναι δις παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα \Delta , δεν παίρνει αρνητικές τιμές

και είναι κυρτή στο \Delta , μπορούμε να πούμε το ίδιο και για την συνάρτηση : g(x)=\sqrt{f(x)} ;

Β) i) Μελετήστε πλήρως την συνάρτηση : f(x)=\sqrt{3x^2-2x^3} .

ii) Βρείτε το σημείο τομής S , της εφαπτομένης της C_{f} στο σημείο με τετμημένη x_{2}=\dfrac{1}{2} , με τον x'x

και βρείτε το σημείο επαφής T , της άλλης εφαπτομένης της C_{f} , η οποία διέρχεται από το S .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13577
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ενδιαφέρουσα μελέτη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Απρ 22, 2021 9:50 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Απρ 22, 2021 8:18 pm
Α) Αν μια συνάρτηση f , είναι δις παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα \Delta , δεν παίρνει αρνητικές τιμές

και είναι κυρτή στο \Delta , μπορούμε να πούμε το ίδιο και για την συνάρτηση : g(x)=\sqrt{f(x)} ;

Β) i) Μελετήστε πλήρως την συνάρτηση : f(x)=\sqrt{3x^2-2x^3} .

ii) Βρείτε το σημείο τομής S , της εφαπτομένης της C_{f} στο σημείο με τετμημένη x_{2}=\dfrac{1}{2} , με τον x'x

και βρείτε το σημείο επαφής T , της άλλης εφαπτομένης της C_{f} , η οποία διέρχεται από το S .
Απαντώ μόνο στο Α γιατί έχω μία περίεργη απάντηση. Αφήνω το Β για άλλους, δεδομένου ότι είναι τύπου textbook, οπότε ας το δουν οι μαθητές που έχουν να ωφεληθούν από αυτό.

Πες λοιπόν ότι για κάθε θετική κυρτή f, η \sqrt f είναι επίσης κυρτή. Εφαρμόζω εκ νέου αυτό, οπότε θα είναι κυρτή και η \sqrt {\sqrt f}. Χμμμ, να όμως που η κυρτή x^2 στο [0,1], οδηγεί μέσω ρίζας της ρίζας στη \sqrt x, που βέβαια είναι κοίλη. Τελειώσαμε. Το θεώρημα δεν ισχύει.

Αν θέλουμε συγκεκριμένο παράδειγμα συνάρτησης που χαλάει το θεώρημα, χωρίς να περάσουμε από την ρίζα της ρίζας, τότε η x^{\frac {3}{2} στο [0,1] μας κάνει. Η ρίζα της x^{\frac {3}{4} είναι βέβαια κοίλη. Το βλέπουμε εύκολα από τα (γνωστά) γραφήματά τους αλλά και με δεύτερη παράγωγο είναι άμεσο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες