Περίεργη μελέτη

KARKAR · #1

Μελετήστε την συνάρτηση : $f(x)=(x-\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}$ , ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα .

Βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων : $C_{f} , C_{f'}$ .

BAGGP93 · #2

Καλησπέρα. Το πεδίο ορισμού είναι το $A=\left[0,+\infty\right)$ και έχουμε

$f^{\prime}(x)=\dfrac{x+\sqrt{x}-1}{2\,\sqrt{x}}\,e^{\sqrt{x}}\,,x>0$ .

Οι λύσεις της ανίσωσης $f^{\prime}(x)\geq 0$ ισοδυναμούν με αυτές τις $x+\sqrt{x}-1\geq 0$

δηλαδή έχουμε $\sqrt{x}\geq \dfrac{1}{\phi}\iff x\geq \dfrac{1}{\phi^2}$ . Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\left[\dfrac{1}{\phi^2},+\infty\right)$ ,

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\left[0,\dfrac{1}{\phi^2}\right)$ και έχει ελάχιστο στο $x=\dfrac{1}{\phi^2}$ .

Οι τετμημένες των κοινών σημείων των $C_{f}\,,C_{f^{\prime}}$ είναι οι λύσεις της εξίσωσης $f(x)=f^{\prime}(x)\,,x>0$ , δηλαδή της εξίσωσης

$(x-\sqrt{x})\,e^{\sqrt{x}}=\dfrac{x+\sqrt{x}-1}{2\,\sqrt{x}}\,e^{\sqrt{x}}\iff x+\sqrt{x}-1=2\,x\,\sqrt{x}-2\,x\,,(\ast)$ .

Αλλάζουμε μεταβλητή, $y=\sqrt{x}\geq 0$ και η εξίσωση γίνεται $y^2+y-1=2\,y^3-2\,y^2\iff 2\,y^3-3\,y^2-y+1=0$ .

Σχήμα Horner για $y=\dfrac{1}{2}$ και παραγοντοποιούμε $(2\,y-1)\,(y^2-y-1)=0\iff y\in\left\{\dfrac{1}{2},\phi,\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right\}$

από τις οποίες δεχόμαστε $\displaystyle{y_1=\dfrac{1}{2}\implies \sqrt{x_1}=\dfrac{1}{2}\implies x_1=\dfrac{1}{4}}$

$\displaystyle{y_2=\phi\implies \sqrt{x_2}=\phi\implies x_2=\phi^2$

Περίεργη μελέτη

Περίεργη μελέτη

Re: Περίεργη μελέτη

Μέλη σε σύνδεση