Υπάρχει λάθος;

#1

Δίνεται η συνάρτηση

για την οποία ισχύει $\displaystyle{f'(x)=\frac{e^x}{x},x>0.}$ Να υπολογίσετε το όριο: $\displaystyle{\lim_{a \rightarrow 0^+}[f(2a)-f(a)].}$
ΛΥΣΗ
Η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στο $[a,2a] \subset (0,+\infty),$
οπότε ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο [a,2a]

και κατά συνέχεια υπάρχει
$x_0 \in (a,2a)$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f'(x_0)=\frac{f(2a)-f(a)}{a} \Leftrightarrow f(2a)-f(a)=\frac{ae^{x_0}}{x_0}.}$
Επομένως
$\displaystyle{\lim_{a \rightarrow 0^+}[f(2a)-f(a)]=\lim_{a \rightarrow 0^+}\frac{ae^{x_0}}{x_0}=0.}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ