Ένα όριο

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4653
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ένα όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Απρ 08, 2021 5:43 pm

Αν η συνάρτηση f έχει δεύτερη παράγωγο στο \alpha , f(\alpha) \neq 0 \neq f'(\alpha) τότε να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \alpha} \left ( \frac{1}{\left ( x-\alpha \right ) f(\alpha)} - \frac{1}{f(x) - f(\alpha)} \right ) = \frac{f''(\alpha)}{2f^2(\alpha)}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3368
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ένα όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Απρ 08, 2021 6:49 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Απρ 08, 2021 5:43 pm
Αν η συνάρτηση f έχει δεύτερη παράγωγο στο \alpha , f(\alpha) \neq 0 \neq f'(\alpha) τότε να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \alpha} \left ( \frac{1}{\left ( x-\alpha \right ) f(\alpha)} - \frac{1}{f(x) - f(\alpha)} \right ) = \frac{f''(\alpha)}{2f^2(\alpha)}}
Αν πάρουμε \alpha=0 και \displaystyle f(x)=x^2+2x+1
ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ.


Θα ισχύει αν υποθέσουμε ότι

\displaystyle f(\alpha)=f'(\alpha)\neq 0


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13464
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ένα όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Απρ 08, 2021 7:21 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Απρ 08, 2021 6:49 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Απρ 08, 2021 5:43 pm
Αν η συνάρτηση f έχει δεύτερη παράγωγο στο \alpha , f(\alpha) \neq 0 \neq f'(\alpha) τότε να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \alpha} \left ( \frac{1}{\left ( x-\alpha \right ) f(\alpha)} - \frac{1}{f(x) - f(\alpha)} \right ) = \frac{f''(\alpha)}{2f^2(\alpha)}}

Θα ισχύει αν υποθέσουμε ότι

\displaystyle f(\alpha)=f'(\alpha)\neq 0
Με την διόρθωση το Σταύρου:

Παρατηρούμε ότι, διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή δια x-a, το παρακάτω όριο υπάρχει και μάλιστα έχουμε (εξ ορισμού) ότι

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow a}  \frac{f'(x) -f'(a)}{f(a)(f(x)-f(a) ) + (x-a) f(a)f'(x) } = \frac{f''(a)}{f(a) f'(a) + f(a)f'(a)}} που βέβαια είναι ίσο με \dfrac{f''(a)}{2f^2(a)}} από την (έξτρα) υπόθεση f(a)=f'(a).

Το όριο της εκφώνησης γράφεται

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow a}  \frac{f(x) -f(a) -(x-a) f(a)}{ (x-a) f(a)(f(x) -f(a))}

που είναι περίπτωση 0/0, οπότε ελέγχουμε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις το DLH. Η παραγώγιση αριθμητή και παρονομαστή οδηγεί στην εξέταση του ορίου

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow a}  \frac{f'(x) -f(a)}{f(a)(f(x)-f(a) ) + (x-a) f(a)f'(x) }.

Αυτό όμως είναι ακριβώς το προηγούμενο (θα πρέπει να θυμηθούμε ότι  f(a)=f'(a)). Και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης