Ένα όριο

Tolaso J Kos · #1

Αν η συνάρτηση

έχει δεύτερη παράγωγο στο $\alpha$ , $f(\alpha) \neq 0 \neq f'(\alpha)$ τότε να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \alpha} \left ( \frac{1}{\left ( x-\alpha \right ) f(\alpha)} - \frac{1}{f(x) - f(\alpha)} \right ) = \frac{f''(\alpha)}{2f^2(\alpha)}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 08, 2021 5:43 pm
Αν η συνάρτηση έχει δεύτερη παράγωγο στο $\alpha$ , $f(\alpha) \neq 0 \neq f'(\alpha)$ τότε να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \alpha} \left ( \frac{1}{\left ( x-\alpha \right ) f(\alpha)} - \frac{1}{f(x) - f(\alpha)} \right ) = \frac{f''(\alpha)}{2f^2(\alpha)}}$

Αν πάρουμε $\alpha=0$ και $\displaystyle f(x)=x^2+2x+1$
ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ.

Θα ισχύει αν υποθέσουμε ότι

$\displaystyle f(\alpha)=f'(\alpha)\neq 0$

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 08, 2021 6:49 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 08, 2021 5:43 pm
Αν η συνάρτηση έχει δεύτερη παράγωγο στο $\alpha$ , $f(\alpha) \neq 0 \neq f'(\alpha)$ τότε να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \alpha} \left ( \frac{1}{\left ( x-\alpha \right ) f(\alpha)} - \frac{1}{f(x) - f(\alpha)} \right ) = \frac{f''(\alpha)}{2f^2(\alpha)}}$

Θα ισχύει αν υποθέσουμε ότι

$\displaystyle f(\alpha)=f'(\alpha)\neq 0$

Με την διόρθωση το Σταύρου:

Παρατηρούμε ότι, διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή δια x-a

, το παρακάτω όριο υπάρχει και μάλιστα έχουμε (εξ ορισμού) ότι

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x) -f'(a)}{f(a)(f(x)-f(a) ) + (x-a) f(a)f'(x) } = \frac{f''(a)}{f(a) f'(a) + f(a)f'(a)}}$ που βέβαια είναι ίσο με $\dfrac{f''(a)}{2f^2(a)}}$ από την (έξτρα) υπόθεση f(a)=f'(a)

.

Το όριο της εκφώνησης γράφεται

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) -f(a) -(x-a) f(a)}{ (x-a) f(a)(f(x) -f(a))}$

που είναι περίπτωση 0/0

, οπότε ελέγχουμε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις το DLH. Η παραγώγιση αριθμητή και παρονομαστή οδηγεί στην εξέταση του ορίου

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x) -f(a)}{f(a)(f(x)-f(a) ) + (x-a) f(a)f'(x) }$ .

Αυτό όμως είναι ακριβώς το προηγούμενο (θα πρέπει να θυμηθούμε ότι f(a)=f'(a)

). Και λοιπά.

Ένα όριο

Ένα όριο

Re: Ένα όριο

Re: Ένα όριο

Μέλη σε σύνδεση