Ελάχιστο για ελαχίστους

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12633
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελάχιστο για ελαχίστους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Απρ 07, 2021 12:24 pm

Ελάχιστο για  ελαχίστους.png
Ελάχιστο για ελαχίστους.png (10.17 KiB) Προβλήθηκε 315 φορές
Πάνω στο τεταρτοκύκλιο O\overset{\frown}{AB} , ακτίνας 4 , κινείται σημείο S . Η εφαπτομένη του τόξου

στο S , τέμνει τις προεκτάσεις των OA , OB στα σημεία T , P αντίστοιχα και έστω M

το μέσο του τμήματος OT . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος PM .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6320
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ελάχιστο για ελαχίστους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Απρ 07, 2021 5:23 pm

Μια λύση εκτός φακέλου:

Υποθέτουμε ότι το τεταρτοκύκλιο ανήκει στον κύκλο \displaystyle{x^2+y^2=16} (στο 1ο τεταρτημόριο).

Ας είναι \displaystyle{S(4\sin a, 4\cos a), ~a\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}, οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι η \displaystyle{x\sin a+y\cos a=4}. Τότε φανερά είναι \displaystyle{P\left(0,\frac{4}{\sin a}\right)} και \displaystyle{T\left(\frac{4}{\cos a},0\right)}. Άρα είναι \displaystyle{M\left(\frac{2}{\cos a},0\right)}.

Ισχύει

\displaystyle{PM^2=\frac{16}{\sin ^2a}+\frac{4}{\cos ^2a}\geq \frac{6^2}{1}=36,} οπότε \displaystyle{PM\geq 6} και η ισότητα ισχύει όταν

\displaystyle{\frac{\sin ^2a}{4}=\frac{\cos ^2 a}{2}=\frac{1}{6}}, δηλαδή όταν \displaystyle{\sin a=\frac{2}{3}, } δηλαδή \displaystyle{a=\arcsin \frac{2}{3}.}


Μάγκος Θάνος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13356
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ελάχιστο για ελαχίστους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Απρ 07, 2021 5:37 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Απρ 07, 2021 12:24 pm
Ελάχιστο για ελαχίστους.png Πάνω στο τεταρτοκύκλιο O\overset{\frown}{AB} , ακτίνας 4 , κινείται σημείο S . Η εφαπτομένη του τόξου

στο S , τέμνει τις προεκτάσεις των OA , OB στα σημεία T , P αντίστοιχα και έστω M

το μέσο του τμήματος OT . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος PM .
Αν \angle TOS = \theta, τότε OM= \frac {1}{2} OT=\frac {1}{2} \dfrac {OS}{\cos \theta} = \dfrac {2}{\cos \theta} και OP = \dfrac {OS}{\sin OPS}= \dfrac {4}{\sin \theta}. Από Πυθαγόρειο PM^2=  \dfrac {4}{\cos ^2 \theta} + \dfrac {16}{\sin ^2 \theta}.

Mε παραγώγιση έχουμε ακρότατο όταν \displaystyle{ \dfrac {8 \sin \theta }{\cos ^3 \theta} - \dfrac {32 \cos \theta }{\sin ^3 \theta} =0}, από όπου \sin \theta = \sqrt 2 \cos \theta ή αλλιώς \tan \theta = \sqrt 2.

Τα υπόλοιπα, όπως η τιμή του PM, είναι άμεσα από τις \cos ^2\theta = \dfrac {1}{\tan ^2 \theta +1 },\, \sin ^2 \theta = 1 - \cos  ^2 \theta

Edit: Τώρα βέλπω την λύση του Θάνου. Το αφήνω παρά τις ομοιότητες σε διάφορα σημεία.


abgd
Δημοσιεύσεις: 186
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Ελάχιστο για ελαχίστους

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Πέμ Απρ 08, 2021 1:43 pm

Με τη βοήθεια μετρικών σχέσεων στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε:

Αν PS=x,\ \ TS=y τότε: OS^2=xy\Rightarrow y=\frac{16}{x}

Ακόμη: OP^2=x\left(x+\frac{16}{x}\right)=x^2+16 και OT^2=\frac{16}{x}\left(x+\frac{16}{x}\right)=\frac{256}{x^2}+16\right)

Έτσι PM^2=OP^2+\frac{OT^2}{4}=20+x^2+\frac{64}{x^2}\geq20+2x\frac{8}{x}=36 οπότε PM\geq6 και το ίσον ισχύει όταν x=\frac{8}{x}\Leftrightarrow x=2\sqrt{2}

Διαφορετικά, για τις ανάγκες του φακέλου, θεωρούμε τη συνάρτηση f(x)=\sqrt{20+x^2+\frac{64}{x^2}}, x>0,

η οποία εκφράζει το μήκος του PM, και με τη βοήθεια της παραγώγου βρίσκουμε ότι έχει ελάχιστο για x=2\sqrt{2} με τιμή 6.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης