Κυρτή

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4561
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Κυρτή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Απρ 06, 2021 3:34 pm

Έστω η συνάρτηση f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση

\displaystyle{g(x) = f \left( \frac{1}{x} \right) \; , \;x >0}
είναι κυρτή στο (0, +\infty) αν και μόνο αν η συνάρτηση h(x)=x f(x) είναι κυρτή στο (0, +\infty).


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13274
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κυρτή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Απρ 06, 2021 6:15 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Απρ 06, 2021 3:34 pm
Έστω η συνάρτηση f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση

\displaystyle{g(x) = f \left( \frac{1}{x} \right) \; , \;x >0}
είναι κυρτή στο (0, +\infty) αν και μόνο αν η συνάρτηση h(x)=x f(x) είναι κυρτή στο (0, +\infty).
Mία άμεση παραγώγιση δίνει g''(x) = \dfrac {2}{x^3} f '\left( \frac{1}{x} \right ) +  \dfrac{1}{x^4}  f ''\left( \frac{1}{x} \right) , και h''(x)=2f'(x) +xf''(x).

Άρα σε οποιοδήποτε a του πεδίου ορισμού και για b= 1/a έχουμε

g''(a) = \dfrac {1}{a^3} \left ( 2 f '\left( \frac{1}{a} \right) +  \dfrac{1}{a}  f ''\left( \frac{1}{a} \right )\right ) =b^3  \left ( 2 f '\left(b \right ) +  b f ''\left( b  \right )\right )  =b^3h''(b)

Φανερά τα δύο μέλη έχουν το ίδιο πρόσημο. Τώρα επειδή κάθε b\in (0,\infty) προκύπτει ως b=1/a για κάποιο a \in (0,\infty ), έπεται το ζητούμενο.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3343
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κυρτή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Απρ 06, 2021 10:51 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Απρ 06, 2021 3:34 pm
Έστω η συνάρτηση f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση

\displaystyle{g(x) = f \left( \frac{1}{x} \right) \; , \;x >0}
είναι κυρτή στο (0, +\infty) αν και μόνο αν η συνάρτηση h(x)=x f(x) είναι κυρτή στο (0, +\infty).
Εχει ενδιαφέρον αν δεν υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει παντού δεύτερη παράγωγος.
Δηλαδή αν μόνο η πρώτη παράγωγος είναι γνησίως αύξουσα.
Φυσικά ισχύει και για κυρτές συναρτήσεις με τον κανονικό ορισμό.
Για να το δούμε (εκτός φακέλου φυσικά)

Είναι φανερό ότι αφού έχουμε ανοικτό διάστημα ότι αν υποθέσουμε την κυρτότητα μίας
όλες οι συναρτήσεις που παρουσιάζονται είναι συνεχείς.

Εστω ότι η g είναι κυρτή.
Για \displaystyle t_1,t_2\geq 0,t_1+t_2=1
είναι

\displaystyle t_1f(\frac{1}{x_1})+t_2f(\frac{1}{x_2})\geq f(\frac{1}{t_1x_1+t_2x_2})

αν θέσουμε

\displaystyle y_1=\frac{1}{x_1},y_2=\frac{1}{x_2},t_1=\frac{y_1}{y_1+y_2},t_2=\frac{y_2}{y_1+y_2}

παίρνουμε

\displaystyle \frac{1}{2}y_1f(y_1)+\frac{1}{2}y_2f(y_2)\geq \frac{y_1+y_2}{2}f(\frac{y_1+y_2}{2})

που λόγω συνέχειας δείχνει ότι η h είναι κυρτή.
Με παρόμοια διαδικασία δείχνεται και το αντίστροφο.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3343
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κυρτή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Απρ 07, 2021 6:31 pm

Για να δούμε μία ακόμα απόδειξη χωρίς την υπόθεση ύπαρξης δεύτερης παραγώγου.
Η απόδειξη μπορεί να γίνει με σχολικά μέσα αλλά χρειάζεται κάποια λήμματα.
Μπορεί να αποδειχθεί με σχολικά μέσα ότι η

1)Η \displaystyle f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσημη
είναι κυρτή(σχολικός ορισμός) αν και μόνο αν
για κάθε \displaystyle t_1,t_2>0,t_1+t_2=1 και x_{1},x_2\in (0,\infty ) διαφορετικά
είναι
\displaystyle t_1f(x_1)+t_2f(x_2)> f(t_1x_1+t_2x_2)

Με την βοήθεια του παραπάνω μπορεί να αποδειχθεί με σχολικά μέσα ότι

2))Η \displaystyle f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}
είναι κυρτή αν και μόνο αν
για κάθε x,y\in (0,\infty )
είναι
\displaystyle f(y)\geq f(x)+f'(x)(y-x)


Ετσι η κυρτότητα της g είναι ισοδύναμη με
για κάθε x,y\in (0,\infty )
ισχύει
\displaystyle f(\frac{1}{y})\geq f(\frac{1}{x})-f'(\frac{1}{x})\frac{1}{x^2}(y-x)(1)

Ενώ η κυρτότητα της h είναι ισοδύναμη με
για κάθε x,y\in (0,\infty )
ισχύει
\displaystyle yf(y)\geq xf(x)+(f(x)+xf'(x))(y-x)(2)

Οι (1),(2) είναι ισοδύναμες γιατί αν βάλουμε σε μια \frac{1}{x} αντί x και \frac{1}{y} αντί y
προκύπτει η άλλη.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης