Κώνος σε σφαίρα

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4613
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Κώνος σε σφαίρα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μαρ 28, 2021 10:06 pm

Να δειχθεί ότι ο όγκος του μεγαλύτερου κώνου που μπορεί να εγγραφεί σε σφαίρα ακτίνας R είναι \displaystyle{\frac{32 \pi R^3}{81}}.

\displaystyle{\begin{tikzpicture} 
 \fill[gray,opacity=0.5] (0,0) --  (2,1.98) -- (-2,1.98) -- (0,0) -- cycle; 
 \fill (0,0) circle (2pt); 
 \draw[shorten >= 2pt] (0,0) -- (2.02,2); 
 \draw[shorten >= 2pt] (0,0) --node[xshift=3mm]{} (-2.02,2); 
 \filldraw[draw=black,outer color=gray!40,inner color=gray!5] (0,2) circle[x radius=2,y radius=0.3]; 
 
\fill (0,2) circle (2pt); 
\draw (0,2) -- node[yshift=1mm]{R} (2,2) (0,2) -- +(0,2.5); 
 
\draw[dash pattern=on 2pt off 2pt] (0,0) -- (0,2) ; 
\draw[dash pattern=on 2pt off 2pt] (0,0) -- (-2.5,0) ; 
\draw[dash pattern=on 2pt off 2pt] (0,0) -- (30:2.5) ; 
 
\draw (0,0) -- (210:2) ; 
\draw (0,0) -- (2,0) ; 
 
\draw (0,2) circle (2); 
 \end{tikzpicture}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13356
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κώνος σε σφαίρα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Μαρ 29, 2021 1:24 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Μαρ 28, 2021 10:06 pm
Να δειχθεί ότι ο όγκος του μεγαλύτερου κώνου που μπορεί να εγγραφεί σε σφαίρα ακτίνας R είναι \displaystyle{\frac{32 \pi R^3}{81}}.

\displaystyle{\begin{tikzpicture} 
 \fill[gray,opacity=0.5] (0,0) --  (2,1.98) -- (-2,1.98) -- (0,0) -- cycle; 
 \fill (0,0) circle (2pt); 
 \draw[shorten >= 2pt] (0,0) -- (2.02,2); 
 \draw[shorten >= 2pt] (0,0) --node[xshift=3mm]{} (-2.02,2); 
 \filldraw[draw=black,outer color=gray!40,inner color=gray!5] (0,2) circle[x radius=2,y radius=0.3]; 
 
\fill (0,2) circle (2pt); 
\draw (0,2) -- node[yshift=1mm]{R} (2,2) (0,2) -- +(0,2.5); 
 
\draw[dash pattern=on 2pt off 2pt] (0,0) -- (0,2) ; 
\draw[dash pattern=on 2pt off 2pt] (0,0) -- (-2.5,0) ; 
\draw[dash pattern=on 2pt off 2pt] (0,0) -- (30:2.5) ; 
 
\draw (0,0) -- (210:2) ; 
\draw (0,0) -- (2,0) ; 
 
\draw (0,2) circle (2); 
 \end{tikzpicture}}
(Το σχήμα δεν είναι σωστό). Αν r η ακτίνα της βάσης, και h το ύψος του κώνου, έχουμε από την γεωμετρία του κύκλου ότι r^2=(2R-h)h. Άρα ο όγκος του είναι \dfrac {1}{3} \pi r^2h = \dfrac {1}{3}\pi (2R-h)h^2\, (*). Με παραγώγιση ως προς h, ή αλλιώς, έχει μέγιστο όταν h = 4R/3.

H αντικατάσταση αυτής της τιμής του h πίσω στην (*), δίνει τον μέγιστο όγκο ως άνω, δηλαδή \displaystyle{\frac{32}{81} \pi R^3}.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4613
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Κώνος σε σφαίρα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Μαρ 29, 2021 1:34 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Μαρ 29, 2021 1:24 am

(Το σχήμα δεν είναι σωστό).
Το γνωρίζω , αλλά για το σωστό σχήμα απαιτείται η βιβλιοθήκη calc του tikz η οποία δε στηρίζεται απο το mathematica . Θα μπορούσα να το ανεβάσω ως εικόνα αλλά ... LaTeX über alles !!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2091
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Κώνος σε σφαίρα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Δευ Μαρ 29, 2021 9:00 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Μαρ 28, 2021 10:06 pm
Να δειχθεί ότι ο όγκος του μεγαλύτερου κώνου που μπορεί να εγγραφεί σε σφαίρα ακτίνας R είναι \displaystyle{\frac{32 \pi R^3}{81}}.

\displaystyle{\begin{tikzpicture} 
 \fill[gray,opacity=0.5] (0,0) --  (2,1.98) -- (-2,1.98) -- (0,0) -- cycle; 
 \fill (0,0) circle (2pt); 
 \draw[shorten >= 2pt] (0,0) -- (2.02,2); 
 \draw[shorten >= 2pt] (0,0) --node[xshift=3mm]{} (-2.02,2); 
 \filldraw[draw=black,outer color=gray!40,inner color=gray!5] (0,2) circle[x radius=2,y radius=0.3]; 
 
\fill (0,2) circle (2pt); 
\draw (0,2) -- node[yshift=1mm]{R} (2,2) (0,2) -- +(0,2.5); 
 
\draw[dash pattern=on 2pt off 2pt] (0,0) -- (0,2) ; 
\draw[dash pattern=on 2pt off 2pt] (0,0) -- (-2.5,0) ; 
\draw[dash pattern=on 2pt off 2pt] (0,0) -- (30:2.5) ; 
 
\draw (0,0) -- (210:2) ; 
\draw (0,0) -- (2,0) ; 
 
\draw (0,2) circle (2); 
 \end{tikzpicture}}
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Μαρ 29, 2021 1:24 am
Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Μαρ 28, 2021 10:06 pm
Να δειχθεί ότι ο όγκος του μεγαλύτερου κώνου που μπορεί να εγγραφεί σε σφαίρα ακτίνας R είναι \displaystyle{\frac{32 \pi R^3}{81}}.

\displaystyle{\begin{tikzpicture} 
 \fill[gray,opacity=0.5] (0,0) --  (2,1.98) -- (-2,1.98) -- (0,0) -- cycle; 
 \fill (0,0) circle (2pt); 
 \draw[shorten >= 2pt] (0,0) -- (2.02,2); 
 \draw[shorten >= 2pt] (0,0) --node[xshift=3mm]{} (-2.02,2); 
 \filldraw[draw=black,outer color=gray!40,inner color=gray!5] (0,2) circle[x radius=2,y radius=0.3]; 
 
\fill (0,2) circle (2pt); 
\draw (0,2) -- node[yshift=1mm]{R} (2,2) (0,2) -- +(0,2.5); 
 
\draw[dash pattern=on 2pt off 2pt] (0,0) -- (0,2) ; 
\draw[dash pattern=on 2pt off 2pt] (0,0) -- (-2.5,0) ; 
\draw[dash pattern=on 2pt off 2pt] (0,0) -- (30:2.5) ; 
 
\draw (0,0) -- (210:2) ; 
\draw (0,0) -- (2,0) ; 
 
\draw (0,2) circle (2); 
 \end{tikzpicture}}
(Το σχήμα δεν είναι σωστό). Αν r η ακτίνα της βάσης, και h το ύψος του κώνου, έχουμε από την γεωμετρία του κύκλου ότι r^2=(2R-h)h. Άρα ο όγκος του είναι \dfrac {1}{3} \pi r^2h = \dfrac {1}{3}\pi (2R-h)h^2\, (*). Με παραγώγιση ως προς h, ή αλλιώς, έχει μέγιστο όταν h = 4R/3.

H αντικατάσταση αυτής της τιμής του h πίσω στην (*), δίνει τον μέγιστο όγκο ως άνω, δηλαδή \displaystyle{\frac{32}{81} \pi R^3}.
Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Μαρ 29, 2021 1:34 am
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Μαρ 29, 2021 1:24 am

(Το σχήμα δεν είναι σωστό).
Το γνωρίζω , αλλά για το σωστό σχήμα απαιτείται η βιβλιοθήκη calc του tikz η οποία δε στηρίζεται απο το mathematica . Θα μπορούσα να το ανεβάσω ως εικόνα αλλά ... LaTeX über alles !!
Απόστολε και Μιχάλη καλημέρα και καλή εβδομάδα...

Επιτρέψτε μου να αναρτήσω το σχήμα του προβλήματός σας

με τα ακριβή στοιχεία που βρήκε ο Μιχάλης.



Μέγιστος κώνος 1.png
Μέγιστος κώνος 1.png (34.2 KiB) Προβλήθηκε 478 φορές

Κώστας Δόρτσιος


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13356
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κώνος σε σφαίρα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Μαρ 29, 2021 11:33 am

KDORTSI έγραψε:
Δευ Μαρ 29, 2021 9:00 am
Επιτρέψτε μου να αναρτήσω το σχήμα του προβλήματός σας
Κώστα, όπως πάντα, το σχήμα είναι κομψότατο.

Ευχαριστούμε.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12627
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κώνος σε σφαίρα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μαρ 29, 2021 7:39 pm

Σχήμα λύσης.png
Σχήμα λύσης.png (15.9 KiB) Προβλήθηκε 411 φορές
Ένα σχήμα της προσαρμοσμένο στην λύση του Μιχάλη . ( R,r οι ακτίνες σφαίρας και βάσης κώνου )

Η ψευδαίσθηση κώνου , δημιουργείται από την πολύ πεπλατυσμένη έλλειψη ( a=6b ) .


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4878
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Κώνος σε σφαίρα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Μαρ 29, 2021 7:47 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Μαρ 29, 2021 1:24 am
Αν r η ακτίνα της βάσης, και h το ύψος του κώνου, έχουμε από την γεωμετρία του κύκλου ότι r^2=(2R-h)h. Άρα ο όγκος του είναι \dfrac {1}{3} \pi r^2h = \dfrac {1}{3}\pi (2R-h)h^2\, (*). Με παραγώγιση ως προς h, ή αλλιώς, έχει μέγιστο όταν h = 4R/3.

H αντικατάσταση αυτής της τιμής του h πίσω στην (*), δίνει τον μέγιστο όγκο ως άνω, δηλαδή \displaystyle{\frac{32}{81} \pi R^3}.
Ας δούμε το "αλλιώς", όπως το αντιμετώπιζαν οι αλγεβριστές των περασμένων αιώνων (διαβάζω τι γράφω και ανατριχιάζω..., σχεδόν το πρόλαβα ως μαθητής)...

H παράσταση  \displaystyle \frac{1}{3}\pi (2R - h){h^2}{\mkern 1mu} έχει μεταβλητό μέρος  \displaystyle (2R - h){h^2}{\mkern 1mu}

Επειδή  \displaystyle 2R – h + h = 2R, σταθερό, το γινόμενο  \displaystyle (2R - h){h^2}{\mkern 1mu} θα έχει μέγιστο όταν οι παράγοντες  \displaystyle 2R – h, h είναι ανάλογοι των εκθετών τους (αν γίνεται).

Πράγματι,  \displaystyle \frac{{2R - h}}{1} = \frac{h}{2} \Leftrightarrow 4R - 2h = h \Leftrightarrow h = \frac{4}{3}R και συνεχίζουμε όπως παραπάνω.

Το ενδιαφέρον εδώ είναι ότι, ενώ το θέμα αυτό ήταν άσκηση ρουτίνας, το παρόμοιο πρόβλημα:
"Σε σφαίρα εγγράψτε κώνο μέγιστης ολικής επιφάνειας"
είναι εξαιρετικά δύσκολο με τις αλγεβρικές μεθόδους.

Spoiler: Σε μια μελλοντική ανάρτηση ή παρουσίαση με τον Γιάννη Θωμαΐδη, (μόλις λήξει η περιπέτεια και οι περιορισμοί της πανδημίας), θα αναφερθούμε σε σχετικά ιστορικά στοιχεία, που έχουμε εντοπίσει, που έχουν πολύ ενδιαφέρον και φθάνουν μέχρι τις σημερινές μέρες.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13356
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κώνος σε σφαίρα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Μαρ 29, 2021 8:23 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Δευ Μαρ 29, 2021 7:47 pm

Ας δούμε το "αλλιώς", όπως το αντιμετώπιζαν οι αλγεβριστές των περασμένων αιώνων (διαβάζω τι γράφω και ανατριχιάζω..., σχεδόν το πρόλαβα ως μαθητής)...

H παράσταση  \displaystyle \frac{1}{3}\pi (2R - h){h^2}{\mkern 1mu} έχει μεταβλητό μέρος  \displaystyle (2R - h){h^2}{\mkern 1mu}

Επειδή  \displaystyle 2R – h + h = 2R, σταθερό, το γινόμενο  \displaystyle (2R - h){h^2}{\mkern 1mu} θα έχει μέγιστο όταν οι παράγοντες  \displaystyle 2R – h, h είναι ανάλογοι των εκθετών τους (αν γίνεται).
.
Γιώργο, αυτό ακριβως είχα κατά νου (το οποίο πρόλαβα ως μαθητής, προ #@&% χρόνων). Λεπτομερέστερα, επαναλαμβάνοντας αυτά που έγραψες, το (2R-h)h^2 γράφεται 4 (2R-h) \cdot \dfrac {h}{2} \cdot \dfrac {h}{2} του οποίου οι παράγοντες 2R-h,\,  \dfrac {h}{2}, \, \dfrac {h}{2} έχουν σταθερό άθροισμα. Άρα το γινόμενο είναι μέγιστό όταν, όπως έλεγε το προ #@&% χρόνων Σχολικό μας βιβλίο, οι παράγοντες είναι ίσοι. Και λοιπά.
.
Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Δευ Μαρ 29, 2021 7:47 pm
Spoiler: Σε μια μελλοντική ανάρτηση ή παρουσίαση με τον Γιάννη Θωμαΐδη, (μόλις λήξει η περιπέτεια και οι περιορισμοί της πανδημίας), θα αναφερθούμε σε σχετικά ιστορικά στοιχεία, που έχουμε εντοπίσει, που έχουν πολύ ενδιαφέρον και φθάνουν μέχρι τις σημερινές μέρες.
Το περιμένω εναγωνίως.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4613
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Κώνος σε σφαίρα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Μαρ 29, 2021 9:03 pm

Θα είχε ενδιαφέρον να δούμε το
Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Το ενδιαφέρον εδώ είναι ότι, ενώ το θέμα αυτό ήταν άσκηση ρουτίνας, το παρόμοιο πρόβλημα:
"Σε σφαίρα εγγράψτε κώνο μέγιστης ολικής επιφάνειας"
είναι εξαιρετικά δύσκολο με τις αλγεβρικές μεθόδους.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 732
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κώνος σε σφαίρα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Μαρ 29, 2021 10:22 pm

Δείτε και αυτό: MAXIMA AND MINIMA SOLVED BY ALGEBRA, RAMCHUNDRA,1859

Κατεβαίνει ελεύθερα από το διαδίκτυο.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4878
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Κώνος σε σφαίρα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Μαρ 29, 2021 11:21 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Δευ Μαρ 29, 2021 10:22 pm
Δείτε και αυτό: MAXIMA AND MINIMA SOLVED BY ALGEBRA, RAMCHUNDRA,1859

Κατεβαίνει ελεύθερα από το διαδίκτυο.
O ινδός μαθηματικός Ramchundra στο βιβλίο του A Treatise on Problems of Maxima and Minima solved by Algebra αντιμετωπίζει αλγεβρικά 130 προβλήματα μεγίστων – ελαχίστων, με, ομολογουμένως, εξαιρετικά πολύπλοκους μετασχηματισμούς. Η πρώτη έκδοση του 1850 στην Καλκούτα, ανατυπώθηκε στο Λονδίνο το 1859. Γράφτηκε ως προσπάθεια απόδειξης της δύναμης των εργαλείων της Άλγεβρας έναντι αυτών του Διαφορικού Λόγισμού. Ο συγγραφέας επέλεξε προβλήματα ακροτάτων που περιέχονται σε γνωστά συγγράμματα Διαφορικού Λογισμού της εποχής και τα αντιμετώπισε με αλγεβρικές τεχνικές. Η εξέλιξη των επόμενων δεκαετιών δικαίωσε, βεβαίως, τους «αναλύστες» σ’ αυτόν τον τομέα, έναντι των «αλγεβριστών»!

Με διαδοχικούς μετασχηματισμούς μετατρέπει εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερου του 2ου σε τριωνυμικές. Χρησιμοποιεί ακόμα και εργαλεία Γεωμετρίας και Τριγωνομετρίας. Οι τεχνικές του Ramchndra δεν επικράτησαν, λόγω της πολυπλοκότητάς τους, έχουν, όμως, ερευνητικό ενδιαφέρον.

Την εποχή εκείνη τα προβλήματα μεγίστων - ελαχίστων ήταν η κορωνίδα των θεμάτων για τις εισαγωγικές στην ανώτερη εκπαίδευση σ' όλη την Ευρώπη. Γι' αυτό και η πλούσια σχετική βιβλιογραφία.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6320
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Κώνος σε σφαίρα

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Μαρ 29, 2021 11:54 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Δευ Μαρ 29, 2021 10:22 pm
Δείτε και αυτό: MAXIMA AND MINIMA SOLVED BY ALGEBRA, RAMCHUNDRA,1859

Κατεβαίνει ελεύθερα από το διαδίκτυο.
Έχει ενδιαφέρον να ανατρέχει κανείς σε βιβλία της εποχής αυτής. Εκπλήσσει ο τρόπος γραφής από αρκετές απόψεις.

Ωστόσο, μια πιο "μοντέρνα" πρόταση αποτελεί το βιβλίο του Niven

που αναφέραμε (κατά διαβολική σύμπτωση) ακριβώς πριν από δέκα ( :shock: :shock: :shock: ) χρόνια εδώ.


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης