Ανισότητα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f;[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής για την οποία ισχύει

$\displaystyle{(2x-1) \left( 2f(x) - x \right) >0 \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \neq \frac{1}{2}}$
Αν υπάρχει το $\displaystyle{f' \left( \frac{1}{2} \right)}$ τότε να δειχθεί ότι $\displaystyle{f' \left( \frac{1}{2} \right) \geq \frac{1}{2}}$ .

#2

Αν $\displaystyle{g(x)=(2x-1)(2f(x)-x)}$

Ισχύει

$\displaystyle{g(x)\geq 0=g\left(\frac{1}{2}\right)}$ για κάθε $\displaystyle{x}$

οπότε από το θεώρημα Fermat ισχύει $\displaystyle{g'\left(\frac{1}{2}\right)=0.}$

Για $\displaystyle{x=\frac{1}{2}}$ είναι $\displaystyle{g'(x)=2(2f(x)-x)+(2x-1)(2f'(x)-1),}$ οπότε προκύπτει $\displaystyle{f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}.}$

Για $\displaystyle{x>\frac{1}{2}}$ ισχύει

$\displaystyle{\frac{f(x)-f\left(\frac{1}{2}\right)}{x-\frac{1}{2}}>\frac{\frac{x}{2}-\frac{1}{4}}{x-\frac{1}{2}}\implies }$

$\displaystyle{\lim_{x\to \frac{1}{2}^+}\frac{f(x)-f\left(\frac{1}{2}\right)}{x-\frac{1}{2}}\geq \lim_{x\to \frac{1}{2}^+}\frac{\frac{x}{2}-\frac{1}{4}}{x-\frac{1}{2}} }$

δηλαδή $\displaystyle{f'\left(\frac{1}{2}\right)\geq \frac{1}{2}.}$

ksofsa · #3

Καλησπέρα!

Μπορούμε να καταλήξουμε στο $f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{4}$ , παρακάμπτοντας το θεώρημα του Fermat.

Αναλύουμε τη συνθήκη και έχουμε:

$f(x)< \dfrac{x}{2}, \forall x\in [0,\dfrac{1}{2})$

και

$f(x)> \dfrac{x}{2}, \forall x\in (\dfrac{1}{2},1]$

Από την πρώτη συνθήκη έχω $\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}^-}f(x)\leq \lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}^-}\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{4}$

και από τη δεύτερη συνθήκη έχω $\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}^+}f(x)\geq \lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}^+}\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{4}$ .

Τελικά $\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}f(x)=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{4}$ .

Χρησιμοποιήθηκε η συνέχεια της f(x)

.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση