Ανισότητα

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4579
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Μαρ 24, 2021 11:57 am

Έστω f;[0,1] \rightarrow \mathbb{R} συνεχής για την οποία ισχύει

\displaystyle{(2x-1) \left( 2f(x) - x \right) >0 \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \neq \frac{1}{2}}
Αν υπάρχει το \displaystyle{f' \left( \frac{1}{2} \right)} τότε να δειχθεί ότι \displaystyle{f' \left( \frac{1}{2} \right) \geq \frac{1}{2}}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6317
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Μαρ 24, 2021 1:06 pm

Αν \displaystyle{g(x)=(2x-1)(2f(x)-x)}

Ισχύει

\displaystyle{g(x)\geq 0=g\left(\frac{1}{2}\right)} για κάθε \displaystyle{x}

οπότε από το θεώρημα Fermat ισχύει \displaystyle{g'\left(\frac{1}{2}\right)=0.}

Για \displaystyle{x=\frac{1}{2}} είναι \displaystyle{g'(x)=2(2f(x)-x)+(2x-1)(2f'(x)-1),} οπότε προκύπτει \displaystyle{f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}.}

Για \displaystyle{x>\frac{1}{2}} ισχύει

\displaystyle{\frac{f(x)-f\left(\frac{1}{2}\right)}{x-\frac{1}{2}}>\frac{\frac{x}{2}-\frac{1}{4}}{x-\frac{1}{2}}\implies }

\displaystyle{\lim_{x\to \frac{1}{2}^+}\frac{f(x)-f\left(\frac{1}{2}\right)}{x-\frac{1}{2}}\geq \lim_{x\to \frac{1}{2}^+}\frac{\frac{x}{2}-\frac{1}{4}}{x-\frac{1}{2}} }

δηλαδή \displaystyle{f'\left(\frac{1}{2}\right)\geq \frac{1}{2}.}


Μάγκος Θάνος
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 239
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Τετ Μαρ 24, 2021 7:00 pm

Καλησπέρα!

Μπορούμε να καταλήξουμε στο f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{4}, παρακάμπτοντας το θεώρημα του Fermat.

Αναλύουμε τη συνθήκη και έχουμε:

f(x)< \dfrac{x}{2}, \forall x\in [0,\dfrac{1}{2})

και

f(x)> \dfrac{x}{2}, \forall x\in (\dfrac{1}{2},1]

Από την πρώτη συνθήκη έχω \lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}^-}f(x)\leq \lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}^-}\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{4}

και από τη δεύτερη συνθήκη έχω \lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}^+}f(x)\geq  \lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}^+}\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{4}.

Τελικά \lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}f(x)=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{4}.

Χρησιμοποιήθηκε η συνέχεια της f(x).


Κώστας Σφακιανάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης