mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 22, 2021 8:21 pm**

Δείξτε ότι η συνάρτηση : $f(x)=e^{x-\sqrt{x}}$ , είναι κυρτή .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 22, 2021 10:07 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 22, 2021 8:21 pm
Δείξτε ότι η συνάρτηση : $f(x)=e^{x-\sqrt{x}}$ , είναι κυρτή .

Είναι

για

.
Αρα κυρτή στο πεδίο ορισμού της.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 22, 2021 10:29 pm**

$\displaystyle{x=t^2}$
Ta υπόλοιπα απλά...

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 22, 2021 10:36 pm**

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 22, 2021 10:07 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 22, 2021 8:21 pm
Δείξτε ότι η συνάρτηση : $f(x)=e^{x-\sqrt{x}}$ , είναι κυρτή .
Είναι για .
Αρα κυρτή στο πεδίο ορισμού της.

Μία εκτός ύλης λύση. Επειδή η $g(x) = x-\sqrt{x}$ είναι κυρτή έπεται ότι:

$\displaystyle{g (\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda g(x) + (1-\lambda) g(y)}$
Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} e^{g(\lambda x+(1-\lambda)y))} & \leq e^{\lambda g(x) + (1-\lambda) g(y)} \\ & = e^{\lambda v + (1-\lambda) w} \\ & \le \lambda e^v + (1-\lambda)e^w \\ & = \lambda e^{g(x)} + (1-\lambda)e^{g(y)} \end{aligned}}$