Λογαριθμική ανισότητα

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2942
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Λογαριθμική ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Μαρ 18, 2021 8:03 am

Να δειχθεί ότι ισχύει η ανισότητα ln(1+x)\geq (ln2)x για 0\leq x\leq 1.

[Προέκυψε στην πορεία για κάτι άλλο, πιθανώς είναι ήδη γνωστή, σε κάθε περίπτωση ας την (ξανα)δούμε!]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.

Λέξεις Κλειδιά:
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 239
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Λογαριθμική ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Πέμ Μαρ 18, 2021 9:08 am

Καλημέρα!

Σχόλιο εκτός φακέλου:

Η ανισότητα ισοδυναμεί με την 2^x\leq 1+x, που είναι άμεση απόρροια της ανισότητας Bernoulli στη γενικευμένη της μορφή.


Κώστας Σφακιανάκης
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6317
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Λογαριθμική ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Μαρ 18, 2021 9:28 am

Χωρίς επίκληση στην Bernoulli:

Η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=2^x-x-1,~x\in [0,1]} είναι φανερά κυρτή, οπότε θα πιάνει το μέγιστο σε κάποιο άκρο (*). Είναι \displaystyle{f(0)=f(1)=0}, εξ ου και το ζητούμενο.

(*)Αυτό βέβαια δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο, οπότε απαιτεί απόδειξη.


Μάγκος Θάνος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13328
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Λογαριθμική ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μαρ 18, 2021 11:44 am

gbaloglou έγραψε:
Πέμ Μαρ 18, 2021 8:03 am
Να δειχθεί ότι ισχύει η ανισότητα ln(1+x)\geq (ln2)x για 0\leq x\leq 1.
Είναι γνωστό (και άλλωστε αποδεικνύεται απλά με παραγώγιση) ότι για t\ge 1 η \left (1 + \dfrac {1}{t} \right ) ^t είναι αύξουσα (με όριο το e).

Οπότε παίνοντας t=1 έχουμε \left (1 + \dfrac {1}{t} \right ) ^t \ge 2. Παίρνοντας λογάριθμo, γράφεται t\ln \left (1 + \dfrac {1}{t} \right )  \ge \ln 2. Βάζοντας t = 1/x, προκύπτει το ζητούμενο.


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 356
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Λογαριθμική ανισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Πέμ Μαρ 18, 2021 10:44 pm

gbaloglou έγραψε:
Πέμ Μαρ 18, 2021 8:03 am
 
Να δειχθεί ότι ισχύει η ανισότητα ln(1+x)\geq (ln2)x για 0\leq x\leq 1.

[Προέκυψε στην πορεία για κάτι άλλο, πιθανώς είναι ήδη γνωστή, σε κάθε περίπτωση ας την (ξανα)δούμε!]
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια.
Θεωρώ την συνάρτηση f(x)=ln(1+x)- (ln2)x.
Είναι f'(x)=\dfrac{1}{1+x}-ln2 και f''(x)=-\frac{1}{\left ( 1+x \right )^2} <0 , \forall x\in (0,1) .
Επομένως η f' είναι γνησίως φθίνουσα στο  [0,1] .
Επίσης ισχύουν: f'(0)=1-ln2>0 και f'(1)=\dfrac{1}{2} - ln2 <0 .
Συνεπώς από Θ. Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα  x_o \in (0,1) τέτοιο ώστε   f' (x_o)=0 .
Άρα για x<x_o ισχύει f'(x)>f'(x_o)=0, οπότε η  f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,x_o] άρα \forall x\in (0,x_o] είναι f(x)>f(0)=0 .
Επίσης για x>x_o ισχύει f'(x)<f'(x_o)=0, οπότε η  f  είναι γνησίως φθίνουσα στο [x_o , 0] άρα \forall x\in [x_o , 1)] είναι f(x)>f(1)=0 .
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι f(x)\geq 0 ,\,\,\,\,\,\forall x\in [0,1].
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
τελευταία επεξεργασία από Σταμ. Γλάρος σε Παρ Μαρ 19, 2021 11:02 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2059
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Λογαριθμική ανισότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Μαρ 18, 2021 11:58 pm

gbaloglou έγραψε:
Πέμ Μαρ 18, 2021 8:03 am
Να δειχθεί ότι ισχύει η ανισότητα ln(1+x)\geq (ln2)x για 0\leq x\leq 1.

[Προέκυψε στην πορεία για κάτι άλλο, πιθανώς είναι ήδη γνωστή, σε κάθε περίπτωση ας την (ξανα)δούμε!]
Για x=0, είναι αληθής.

Θεωρούμε την f(x)= \dfrac{ln(x+1)}{x} με  x \in (0,1] που εύκολα προκύπτει γνήσια φθίνουσα και ως συνεχής έχει σύνολο

τιμών το [ln2,1) άρα f(x) \geq ln2 \Rightarrow ln(x+1) \geq xln2 για κάθε x \in [0,1]


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2942
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Λογαριθμική ανισότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Μαρ 19, 2021 9:53 am

Όλο και πιο σχολικές οι λύσεις, ας δούμε μία ακόμη:

Για να είναι μη αρνητική η g(x)=ln(1+x)-(ln2)x στο διάστημα [0, 1], αρκεί να είναι μη αρνητική στα άκρα του διαστήματος (άμεσο) και στο τυχόν σημείο x_0 μηδενισμού της παραγώγου. Εύκολα βρίσκουμε ότι το σημείο αυτό είναι μοναδικό, x_0=\dfrac{1-ln2}{ln2}. Χρειαζόμαστε επομένως την ανισότητα ln\left(\dfrac{2}{ln2}\right)\geq 1 ή, ισοδύναμα, \dfrac{2}{ln2}\geq e. Αυτή προκύπτει εύκολα αν θεωρήσουμε γνωστές τις e<2,72 και ln2<0,7, καθώς 2,72\cdot 0,7<2.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης