Λογαριθμική ανισότητα

#1

Να δειχθεί ότι ισχύει η ανισότητα $ln(1+x)\geq (ln2)x$ για $0\leq x\leq 1$ .

[Προέκυψε στην πορεία για κάτι άλλο, πιθανώς είναι ήδη γνωστή, σε κάθε περίπτωση ας την (ξανα)δούμε!]

ksofsa · #2

Καλημέρα!

Σχόλιο εκτός φακέλου:

Η ανισότητα ισοδυναμεί με την $2^x\leq 1+x$ , που είναι άμεση απόρροια της ανισότητας Bernoulli στη γενικευμένη της μορφή.

#3

Χωρίς επίκληση στην Bernoulli:

Η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=2^x-x-1,~x\in [0,1]}$ είναι φανερά κυρτή, οπότε θα πιάνει το μέγιστο σε κάποιο άκρο (*). Είναι $\displaystyle{f(0)=f(1)=0}$ , εξ ου και το ζητούμενο.

(*)Αυτό βέβαια δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο, οπότε απαιτεί απόδειξη.

#4

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 18, 2021 8:03 am
Να δειχθεί ότι ισχύει η ανισότητα $ln(1+x)\geq (ln2)x$ για $0\leq x\leq 1$ .

Είναι γνωστό (και άλλωστε αποδεικνύεται απλά με παραγώγιση) ότι για $t\ge 1$ η $\left (1 + \dfrac {1}{t} \right ) ^t$ είναι αύξουσα (με όριο το

).

Οπότε παίνοντας t=1

έχουμε $\left (1 + \dfrac {1}{t} \right ) ^t \ge 2$ . Παίρνοντας λογάριθμo, γράφεται $t\ln \left (1 + \dfrac {1}{t} \right ) \ge \ln 2$ . Βάζοντας t = 1/x

, προκύπτει το ζητούμενο.

Σταμ. Γλάρος · #5

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 18, 2021 8:03 am
ln(1+x)\geq (ln2)x0\leq x\leq 1

[Προέκυψε στην πορεία για κάτι άλλο, πιθανώς είναι ήδη γνωστή, σε κάθε περίπτωση ας την (ξανα)δούμε!]

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια.
Θεωρώ την συνάρτηση f(x)=ln(1+x)- (ln2)x

.
Είναι $f'(x)=\dfrac{1}{1+x}-ln2$ και $f''(x)=-\frac{1}{\left ( 1+x \right )^2} <0$ , $\forall x\in (0,1)$ .
Επομένως η

είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,1]

.
Επίσης ισχύουν: f'(0)=1-ln2>0

και $f'(1)=\dfrac{1}{2} - ln2 <0$ .
Συνεπώς από Θ. Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_o \in (0,1)$ τέτοιο ώστε f' (x_o)=0

.
Άρα για x<x_o

ισχύει

, οπότε η

είναι γνησίως αύξουσα στο [0,x_o]

άρα $\forall x\in (0,x_o]$ είναι f(x)>f(0)=0

.
Επίσης για x>x_o

ισχύει

, οπότε η

είναι γνησίως φθίνουσα στο [x_o , 0]

άρα $\forall x\in [x_o , 1)]$ είναι f(x)>f(1)=0

.
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι $f(x)\geq 0 ,\,\,\,\,\,\forall x\in [0,1]$ .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 18, 2021 8:03 am
Να δειχθεί ότι ισχύει η ανισότητα $ln(1+x)\geq (ln2)x$ για $0\leq x\leq 1$ .

[Προέκυψε στην πορεία για κάτι άλλο, πιθανώς είναι ήδη γνωστή, σε κάθε περίπτωση ας την (ξανα)δούμε!]

Για

είναι αληθής.

Θεωρούμε την $f(x)= \dfrac{ln(x+1)}{x}$ με $x \in (0,1]$ που εύκολα προκύπτει γνήσια φθίνουσα και ως συνεχής έχει σύνολο

τιμών το [ln2,1)

άρα $f(x) \geq ln2 \Rightarrow ln(x+1) \geq xln2$ για κάθε $x \in [0,1]$

#7

Όλο και πιο σχολικές οι λύσεις, ας δούμε μία ακόμη:

Για να είναι μη αρνητική η g(x)=ln(1+x)-(ln2)x

στο διάστημα [0, 1]

, αρκεί να είναι μη αρνητική στα άκρα του διαστήματος (άμεσο) και στο τυχόν σημείο x_0

μηδενισμού της παραγώγου. Εύκολα βρίσκουμε ότι το σημείο αυτό είναι μοναδικό, $x_0=\dfrac{1-ln2}{ln2}$ . Χρειαζόμαστε επομένως την ανισότητα $ln\left(\dfrac{2}{ln2}\right)\geq 1$ ή, ισοδύναμα, $\dfrac{2}{ln2}\geq e$ . Αυτή προκύπτει εύκολα αν θεωρήσουμε γνωστές τις e<2,72

και

, καθώς $2,72\cdot 0,7<2$ .

Λογαριθμική ανισότητα

Λογαριθμική ανισότητα

Re: Λογαριθμική ανισότητα

Re: Λογαριθμική ανισότητα

Re: Λογαριθμική ανισότητα

Re: Λογαριθμική ανισότητα

Re: Λογαριθμική ανισότητα

Re: Λογαριθμική ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση