Ακρότατα με παράμετρο

KARKAR · #1

$\bigstar$ Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης : $f(x)=\ell n(x+k)\sqrt{x+k}$ , $k\in \mathbb{R}$

#2

Δεν καταλαβαινω τι σκοπό εξυπηρετεί η τοσο μεγάλη ευκολία της 'ασκησης

KARKAR · #3

Ροδόλφε , η άσκηση έχει την επισήμανση : "

ώρες μόνο για μαθητές " , κάτι που συνήθως σημαίνει

ότι δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολη .

Πρέπει πάντως να σημειώσω , ότι κάνοντας ένα σχόλιο για μιαν άσκηση που δεν έχει ακόμη λυθεί ,

η άσκηση μεταφέρεται στα "απαντημένα θέματα" , με αποτέλεσμα να κινδυνεύει να "χαθεί" ...

User#0000 · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 13, 2021 7:39 pm
η άσκηση μεταφέρεται στα "απαντημένα θέματα" , με αποτέλεσμα να κινδυνεύει να "χαθεί" ...

-Δεν κινδυνεύει πια.

$f(x)=ln(x+k)\sqrt {x+k}$ $\Rightarrow$ $f'(x)=\frac {\sqrt {x+k}} {x+k}+\frac {ln(x+k)} {2\sqrt{x+k}}$ $\Leftrightarrow$
$f'(x)=\frac {2+ln(x+k)} {2\sqrt{x+k}}$
Ο παρονομαστής είναι θετικός παράγοντας.
Άρα το πρόσημο της συνάρτησης f'(x)

εξαρτάται απ' τον αριθμητή.
$2+ln(x+k)\geqslant 0$
$x\geqslant e^{-2}-k$

Οπότε:
$f'(x)<0, \forall χ\in (-\infty, e^{-2}-k)$
$f'(x)>0, \forall χ\in (e^{-2}-k,+\infty)$

Άρα η συνάρτηση

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο $e^{-2}-k$ το $f(e^{-2}-k)=-\frac{2}{e}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 09, 2021 12:59 pm
$\bigstar$ Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης : $f(x)=\ell n(x+k)\sqrt{x+k}$ , $k\in \mathbb{R}$

Πιο απλά (για να γλιτώσω να κουβαλάω ρίζες):

Η παράμετρος δεν παίζει κανένα ρόλο γιατί απλά μεταφέρει οριζοντίως το γράφημα της

, αλλά θα το παραβλέψω (για την συγκεκριμένη άσκηση σε κερδίζω τίποτα ουσιαστικό).

Θέτω $t=\sqrt {x+k}\ge 0$ . Ψάχνω τα ακρότατα της $f(t)= t \ln t^2=2t\ln t$ (εδώ γλίτωσα τις ρίζες). Είναι $f'(t) = 2+2\ln t$ που μηδενίζεται στο $t= e^{-1}$ . Η λύση αυτή είναι μοναδική αφού η

είναι γνήσια αύξουσα. Το τελευταίο μας λέει ακόμη ότι το ακρότατο είναι ολικό ελάχιστο. Η τιμή του είναι $f(e^{-1}) = 2e^{-1}\ln (e^{-1})=-\frac {2}{e}$ .

Ακρότατα με παράμετρο

Ακρότατα με παράμετρο

Re: Ακρότατα με παράμετρο

Re: Ακρότατα με παράμετρο

Re: Ακρότατα με παράμετρο

Re: Ακρότατα με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση