Όριο

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4578
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μαρ 07, 2021 12:17 pm

Έστω f:(0,2) \rightarrow (0,+\infty) η οποία είναι παραγωγίσιμη στο x_0=1 και ισχύει f(1)=4=f'(1). Να υπολογιστεί το όριο

\displaystyle{\ell = \lim_{h \rightarrow 0} \left ( \frac{f \left ( 1+h \right )}{f\left ( 1+3h \right )} \right )^{1/h}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
judgme_nt
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 17, 2020 11:40 pm

Re: Όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από judgme_nt » Κυρ Μαρ 07, 2021 3:05 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Μαρ 07, 2021 12:17 pm
Έστω f:(0,2) \rightarrow (0,+\infty) η οποία είναι παραγωγίσιμη στο x_0=1 και ισχύει f(1)=4=f'(1). Να υπολογιστεί το όριο \displaystyle{\ell = \lim_{h \rightarrow 0} \left ( \frac{f \left ( 1+h \right )}{f\left ( 1+3h \right )} \right )^{1/h}}
Αρχικά πεδίο τιμών της f είναι το (0,+\infty) επομένως f(1+h)>0 και f(1+3h)>0 για κάθεh (εννοείται τέτοιο ώστε 0<1+h<2 και 0<1+3h<2).

Επομένως είναι \displaystyle \left ( \frac{f \left ( 1+h \right )}{f\left ( 1+3h \right )} \right )^{1/h}=e^{\frac{1}{h}[lnf(1+h)-lnf(1+3h)]}.

Θέτουμε u=\frac{1}{h}[lnf(1+h)-lnf(1+3h)] και θεωρούμε, για ευκολία, την g(x)=lnf(x) με x\in(0,2)

Είναι u=\frac{g(1+h)-g(1+3h)}{h} =\frac{g(1+h) - g(1) - g(1+3h) + g(1)}{h} =\frac{g(1+h)-g(1)}{h} - 3\frac{g(1+3h)-g(1)}{3h}.
Η g είναι παραγωγίσιμη στο 1 με \displaystyle g'(1)= \frac{f'(1)}{f(1)}=1 (παράγωγος σύνθεσης)
οπότε u_0=g'(1) - 3g'(1)= -2g'(1) = -2. Τελικά το όριο είναι
\displaystyle \ell = \lim_{u\rightarrow -2}e^u=e^{-2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης