Είναι σωστή η λύση;

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4518
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Είναι σωστή η λύση;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Φεβ 21, 2021 2:54 pm

Άσκηση: Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} με συνεχή παράγωγο τέτοια ώστε

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x) - \sqrt{x^2+4}}{x} = 1}

Να δειχθεί ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο x_0=0.


Λύση: Έστω \displaystyle g(x) = \frac{f'(x) - \sqrt{x^2+4}}{x}. Τότε \lim \limits_{x \rightarrow 0} g(x) =1. Συνεπώς,

\displaystyle{ \begin{aligned} 
     g (x) = \frac{f'(x) - \sqrt{x^2+4}}{x} &\Rightarrow x g(x) = f'(x) - \sqrt{x^2+4} \\  
     &\Rightarrow f'(x) = x g(x) + \sqrt{x^2+4} \\  
     &\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0} f'(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \left ( x g(x) + \sqrt{x^2+4} \right ) \\  
     &\Rightarrow f'(0) = 2 
     \end{aligned}}
Αρκεί να δείξουμε ότι το όριο \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x) - f'(0)}{x} υπάρχει. Πράγματι,

\displaystyle{\begin{aligned} 
     \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x) - \sqrt{x^2+4}}{x} =1 &\Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x) - f'(0) - \left ( \sqrt{x^2+4} - f'(0) \right )}{x} =1 \\  
     &\Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x) - f'(0) - \left ( \sqrt{x^2+4} -2 \right )}{x} =1 
     \end{aligned}}
Επειδή \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^2+4}-2}{x} = 0 έπεται ότι και το όριο \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x) - f'(0)}{x} υπάρχει.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1540
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Είναι σωστή η λύση;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Φεβ 21, 2021 6:01 pm

Γειά σου Αποστόλη
Σωστή αλλά ελλιπής , Στο τελευταίο βήμα χρησιμοποιείται πρόταση που δεν αναφέρεται στο σχολικό και θέλει απόδειξη .


Kαλαθάκης Γιώργης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13145
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Είναι σωστή η λύση;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 21, 2021 6:46 pm

Σωστό είναι αλλά πλατειάζει. Μπορεί να αποτρέψει τον μαθητή γιατί κάνει τα εύκολα, δύσκολα. Τα ίδια πιο άμεσα:

\displaystyle{f'(0)-2 = \lim_{x \rightarrow 0} ( f'(x) - \sqrt {x^2+4})= \lim_{x \rightarrow 0}  \dfrac { f'(x) - \sqrt {x^2+4}}{x} \cdot x = 1\cdot 0 =0}, δηλαδή f'(0)=2. Άρα

\displaystyle{\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{f'(x) - f'(0)}{x-0} = \lim_{x \rightarrow 0} \left (\dfrac{f'(x) - \sqrt {x^2+4}}{x-0} + \dfrac {\sqrt {x^2+4}-2}{x-0}\right )=1+0=1}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες