Παραγώγου γράφημα

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4561
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Παραγώγου γράφημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Φεβ 18, 2021 9:44 pm

Δίδεται το γράφημα της f' μιας συνεχούς συνάρτησης f στο [-1, 6].

Screenshot_2021-02-18 Το γράφημα της παραγώγου ιδιότητες και ιδιαιτερότητες.png
Screenshot_2021-02-18 Το γράφημα της παραγώγου ιδιότητες και ιδιαιτερότητες.png (32.5 KiB) Προβλήθηκε 250 φορές
  1. Να βρεθεί ( αν υπάρχει ) το όριο \displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} \frac{f(x)-f(4)}{x-4}.
  2. Να μελετηθεί η f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1557
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Παραγώγου γράφημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Παρ Φεβ 19, 2021 1:29 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Φεβ 18, 2021 9:44 pm
Δίδεται το γράφημα της f' μιας συνεχούς συνάρτησης f στο [-1, 6].


Screenshot_2021-02-18 Το γράφημα της παραγώγου ιδιότητες και ιδιαιτερότητες.png

  1. Να βρεθεί ( αν υπάρχει ) το όριο \displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} \frac{f(x)-f(4)}{x-4}.
  2. Να μελετηθεί η f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής.
...αντιμετωπίζοντας το θέμα προκύπτει προβληματισμός...

i) Σύμφωνα με το σχήμα είναι \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)=-\infty και \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(4)}{x-4}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{1}=-\infty

ii) Εδώ παρατηρούμε ότι {f}' είναι γνήσια αύξουσα στο [-1,2] άρα η f κυρτή στο [-1,2]

και {f}' είναι γνήσια φθίνουσα στο [2,4) άρα η f κοίλη στο [2,4)

Ακόμη είναι {f}'(2)=4 δηλαδή η f είναι παραγωγίσιμη στο 2 αλλά όμως

είναι \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(2)}{x-2}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{1}=4 και

\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(2)}{x-2}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{1}=2 που βγάζει άτοπο!!

Κάτι δεν πάει καλά εδώ, γιατί αν η fείναι παραγωγίσιμη στο 2 δεν γίνεται τα πλευρικά να είναι διαφορετικά,

και αν δεν είναι παραγωγίσιμη δεν πρέπει να έχει τιμή η {f}' στο 2, όπως είναι δεν μπορούμε να αποφανθούμε για σημείο καμπής στο 2

Τώρα παρατηρούμε ότι {f}' είναι γνήσια φθίνουσα στο [2,4) άρα η f κοίλη στο [2,4)και {f}' είναι γνήσια αύξουσα στο [4,6]

άρα η f κυρτή στο [4,6] και αφού \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(4)}{x-4}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{1}=-\infty

έχει κατακόρυφη εφαπτομένη στο σημείο (4,f(4))(εκτός ύλης ) και είναι σημείο καμπής .

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3345
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Παραγώγου γράφημα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Φεβ 19, 2021 8:33 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Φεβ 18, 2021 9:44 pm
Δίδεται το γράφημα της f' μιας συνεχούς συνάρτησης f στο [-1, 6].


Screenshot_2021-02-18 Το γράφημα της παραγώγου ιδιότητες και ιδιαιτερότητες.png

  1. Να βρεθεί ( αν υπάρχει ) το όριο \displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} \frac{f(x)-f(4)}{x-4}.
  2. Να μελετηθεί η f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής.
Απλά δεν είναι γράφημα παραγώγου.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 729
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Παραγώγου γράφημα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Φεβ 19, 2021 10:10 am

Δεν παρουσιάζει η παραγωγός τέτοιες ασυνέχειες. Γνωστά πράγματα.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13275
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παραγώγου γράφημα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Φεβ 19, 2021 10:53 am

Ας δούμε την αιτία σε αυτά που πολύ σωστά λένε ο Σταύρος και ο Λάμπρος.

Παρακάτω έχω το γράφημα της εν λόγω παραγώγου περιορισμένης στο [1,\,3]. Όλα καλά;

Όχι βέβαια. Από Θεώρημα Darboux οι παράγωγες συναρτήσεις έχουν την ιδιότητα ενδιαμέσων τιμών. Η εν λόγω δεν παίρνει καμία τιμή στο [2,\,3] αν και έχει τιμές τόσο μικρότερες του 2 όσο και μεγαλύτερες του 3.

Με λίγα λόγια, δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση (και μάλιστα όπως και αν την ορίσουμε στο x=2, όχι μόνο όπως στην εικόνα).
.
Συνημμένα
oxi paragogos.png
oxi paragogos.png (33.43 KiB) Προβλήθηκε 158 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες