Παραγώγου γράφημα

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται το γράφημα της

μιας συνεχούς συνάρτησης

στο

.

: Screenshot_2021-02-18 Το γράφημα της παραγώγου ιδιότητες και ιδιαιτερότητες.png (32.5 KiB) Προβλήθηκε 739 φορές

Να βρεθεί ( αν υπάρχει ) το όριο $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} \frac{f(x)-f(4)}{x-4}$ .
Να μελετηθεί η ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 18, 2021 9:44 pm
Δίδεται το γράφημα της μιας συνεχούς συνάρτησης στο .

Screenshot_2021-02-18 Το γράφημα της παραγώγου ιδιότητες και ιδιαιτερότητες.png

Να βρεθεί ( αν υπάρχει ) το όριο $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} \frac{f(x)-f(4)}{x-4}$ .

Να μελετηθεί η ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής.

...αντιμετωπίζοντας το θέμα προκύπτει προβληματισμός...

i) Σύμφωνα με το σχήμα είναι $\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)=-\infty$ και $\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(4)}{x-4}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{1}=-\infty$

ii) Εδώ παρατηρούμε ότι {f}'

είναι γνήσια αύξουσα στο [-1,2]

άρα η

κυρτή στο

και

είναι γνήσια φθίνουσα στο [2,4)

άρα η

κοίλη στο [2,4)

Ακόμη είναι {f}'(2)=4

δηλαδή η

είναι παραγωγίσιμη στο

αλλά όμως

είναι $\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(2)}{x-2}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{1}=4$ και

$\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(2)}{x-2}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{1}=2$ που βγάζει άτοπο!!

Κάτι δεν πάει καλά εδώ, γιατί αν η

είναι παραγωγίσιμη στο

δεν γίνεται τα πλευρικά να είναι διαφορετικά,

και αν δεν είναι παραγωγίσιμη δεν πρέπει να έχει τιμή η {f}'

στο

, όπως είναι δεν μπορούμε να αποφανθούμε για σημείο καμπής στο

Τώρα παρατηρούμε ότι {f}'

είναι γνήσια φθίνουσα στο [2,4)

άρα η

κοίλη στο [2,4)

και

είναι γνήσια αύξουσα στο [4,6]

άρα η

κυρτή στο

και αφού $\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(4)}{x-4}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{1}=-\infty$

έχει κατακόρυφη εφαπτομένη στο σημείο (4,f(4))

(εκτός ύλης ) και είναι σημείο καμπής .

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 18, 2021 9:44 pm
Δίδεται το γράφημα της μιας συνεχούς συνάρτησης στο .

Screenshot_2021-02-18 Το γράφημα της παραγώγου ιδιότητες και ιδιαιτερότητες.png

Να βρεθεί ( αν υπάρχει ) το όριο $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} \frac{f(x)-f(4)}{x-4}$ .

Να μελετηθεί η ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής.

Απλά δεν είναι γράφημα παραγώγου.

Λάμπρος Κατσάπας · #4

Δεν παρουσιάζει η παραγωγός τέτοιες ασυνέχειες. Γνωστά πράγματα.

#5

Ας δούμε την αιτία σε αυτά που πολύ σωστά λένε ο Σταύρος και ο Λάμπρος.

Παρακάτω έχω το γράφημα της εν λόγω παραγώγου περιορισμένης στο $[1,\,3]$ . Όλα καλά;

Όχι βέβαια. Από Θεώρημα Darboux οι παράγωγες συναρτήσεις έχουν την ιδιότητα ενδιαμέσων τιμών. Η εν λόγω δεν παίρνει καμία τιμή στο $[2,\,3]$ αν και έχει τιμές τόσο μικρότερες του

όσο και μεγαλύτερες του

.

Με λίγα λόγια, δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση (και μάλιστα όπως και αν την ορίσουμε στο x=2

, όχι μόνο όπως στην εικόνα).
.

Παραγώγου γράφημα

Παραγώγου γράφημα

Re: Παραγώγου γράφημα

Re: Παραγώγου γράφημα

Re: Παραγώγου γράφημα

Re: Παραγώγου γράφημα

Μέλη σε σύνδεση