Παράγωγος Riemann

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4561
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Παράγωγος Riemann

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Φεβ 16, 2021 10:18 pm

Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα \Delta και x_0 \in \Delta. Υποθέτουμε ότι το όριο

\displaystyle{\hat{f}(x_0) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0-h)}{2h}}

υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται παράγωγος Riemann της f στο x_0.

  1. Να δειχθεί ότι αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x_0 τότε υπάρχει η παράγωγος Riemann στο x_0 και ισχύει \hat{f}(x_0)=f'(x_0).
  2. Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x)=|x|. Να δειχθεί ότι ενώ η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0 εντούτοις υπάρχει η παράγωγος Riemann στο 0.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13275
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παράγωγος Riemann

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Φεβ 16, 2021 10:42 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Φεβ 16, 2021 10:18 pm
Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα \Delta και x_0 \in \Delta. Υποθέτουμε ότι το όριο

\displaystyle{\hat{f}(x_0) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0-h)}{2h}}

υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται παράγωγος Riemann της f στο x_0.

  1. Να δειχθεί ότι αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x_0 τότε υπάρχει η παράγωγος Riemann στο x_0 και ισχύει \hat{f}(x_0)=f'(x_0).
  2. Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x)=|x|. Να δειχθεί ότι ενώ η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0 εντούτοις υπάρχει η παράγωγος Riemann στο 0.
ι) 'Αμεσο από την \displaystyle{  \frac{f(x_0+h) - f(x_0-h)}{2h}= \frac {1}{2} \left(   \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}+   \frac{f(x_0-h) - f(x_0)}{-h}  \right )} και παίρνοντας όριο h\to 0

ιι) Για x_o=0 έχουμε για την παραπάνω παράσταση ότι \displaystyle{ \frac{f(x_0+h) - f(x_0-h)}{2h}= \frac{|h| - |-h|}{2h}=0}, και λοιπά. Εδώ \hat f(0)=0.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες