mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 15, 2021 8:15 pm**

: Προσποίηση.png (8.93 KiB) Προβλήθηκε 968 φορές

$\bigstar$ Τα σημεία A ,B , C

είναι συνευθειακά , με : AB=3 , BC=5

. Πάνω

στην κάθετη στο άκρο

, κινείται σημείο

. Βρείτε την μέγιστη τιμή του : $\sin\theta$ .

"Προσποιηθείτε" , ότι δεν γνωρίζετε Γεωμετρία και λύστε το πρόβλημα με Ανάλυση .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 15, 2021 8:51 pm**

Από τον νόμο των ημιτόνων έχουμε

$\displaystyle{\frac{BC}{\sin \theta}=\frac{BS}{\sin C}\implies \sin \theta =\frac{5\frac{x}{\sqrt{x^2+64}}}{\sqrt{x^2+9}}=5\sqrt{\frac{x^2}{(x^2+64)(x^2+9)}}}$ .

Όποτε αρκεί να μεγιστοποιήσουμε την παράσταση $\displaystyle{\frac{y}{(y+64)(y+9)},~~y>0.}$

Ας αποφύγουμε και την ανάλυση.

$\displaystyle{\frac{y}{(y+64)(y+9)}=\frac{1}{t}\implies y^2+(73-t)y+9\cdot 64=0\implies (73-t)^2-4\cdot 9\cdot 64\geq 0\implies |73-t|\geq 2\cdot 3\cdot 8}$

άρα

$\displaystyle{73-t\leq -48\implies t\geq 121.}$

Επομένως η μέγιστη τιμή της παράστασης $\displaystyle{\sin \theta }$ είναι $\displaystyle{\frac{5}{11}}$ και πιάνεται όταν (εύκολο) $\displaystyle{x=2\sqrt{6}.}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 16, 2021 12:48 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 15, 2021 8:15 pm
Προσποίηση.png $\bigstar$ Τα σημεία είναι συνευθειακά , με : . Πάνω

στην κάθετη στο άκρο , κινείται σημείο . Βρείτε την μέγιστη τιμή του : $\sin\theta$ .

"Προσποιηθείτε" , ότι δεν γνωρίζετε Γεωμετρία και λύστε το πρόβλημα με Ανάλυση .

Το γνωστό από την αρχαιότητα πρόβλημα

: προσποίηση_γεωμετρικά.png (12.49 KiB) Προβλήθηκε 897 φορές

Σε ποιο σημείο της( εδώ κατακόρυφης ) ευθείας θα βάλουμε το μάτι για να δούμε το

υπό την μεγαλύτερη γωνία

Απολλώνια κατασκευή

Να συμπληρώσω ότι αφού γίνει η κατασκευή, κύκλος διερχόμενος από τα A,B

κι εφαπτόμενος στην

( υπάρχουν διάφοροι τρόποι) ισχύουν:

$O{S^2} = OA \cdot OB \Rightarrow {x^2} = 24 \Rightarrow x = 2\sqrt 6$ , έχω: $SA = \sqrt {33} \,\,,\,\,SB = \sqrt {88} \,\,,\,\,\boxed{\cos \theta = \frac{{4\sqrt 6 }}{{11}}\,\,,\,\,\sin \theta = \frac{5}{{11}}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 16, 2021 4:24 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 15, 2021 8:15 pm
Προσποίηση.png $\bigstar$ Τα σημεία είναι συνευθειακά , με : . Πάνω

στην κάθετη στο άκρο , κινείται σημείο . Βρείτε την μέγιστη τιμή του : $\sin\theta$ .

"Προσποιηθείτε" , ότι δεν γνωρίζετε Γεωμετρία και λύστε το πρόβλημα με Ανάλυση .

: Προσποίηση.png (9.32 KiB) Προβλήθηκε 818 φορές

$\displaystyle \theta = (\omega + \theta ) - \omega \Leftrightarrow \tan \theta = \frac{{\frac{8}{x} - \frac{3}{x}}}{{1 + \frac{{24}}{{{x^2}}}}} = \frac{{5x}}{{{x^2} + 24}}.$ Επειδή η γωνία $\theta$ είναι οξεία, το $\sin \theta$ μεγιστοποιείται όταν

μεγιστοποιείται και η $\tan \theta.$ Αλλά, $\displaystyle {\left( {\frac{{5x}}{{{x^2} + 24}}} \right)^\prime } = - \frac{{5({x^2} - 24)}}{{{{({x^2} + 24)}^2}}},$ δηλαδή έχουμε μέγιστο για $\boxed{x=2\sqrt 6}$ με

$\displaystyle {(\tan \theta )_{\max }} = \frac{{5\sqrt 6 }}{{24}}.$ Άρα, $\displaystyle {(\sin \theta )_{\max }} = \sqrt {\frac{{{{\tan }^2}\theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }}} = \sqrt {\frac{{\frac{{25}}{{96}}}}{{1 + \frac{{25}}{{96}}}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{{(\sin \theta )_{\max }} = \frac{5}{{11}}}$

mathematica.gr

Προσποίηση

Προσποίηση

Re: Προσποίηση

Re: Προσποίηση

Re: Προσποίηση