Το άλλο άκρο

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12525
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Το άλλο άκρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Φεβ 06, 2021 9:38 pm

Το  άλλο  άκρο.png
Το άλλο άκρο.png (17.21 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές
Για την : f(x)= x+1+\sqrt{x^2+x+1} , αν εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ. στο διάστημα

[-3 \:, \:2\:] , θα βρούμε ότι το \xi είναι το κέντρο του διαστήματος , δηλαδή : \xi=-\dfrac{1}{2} .

Βρείτε - με πλήρη αιτιολόγηση - την σχέση που πρέπει να συνδέει τα a , b , ( a < b) , ώστε

για το προκύπτον \xi του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [\:a \:, \:b\:] , να ισχύει : \xi=\dfrac{a+b}{2} .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13323
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Το άλλο άκρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Φεβ 06, 2021 11:01 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Φεβ 06, 2021 9:38 pm
Το άλλο άκρο.pngΓια την : f(x)= x+1+\sqrt{x^2+x+1} , αν εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ. στο διάστημα

[-3 \:, \:2\:] , θα βρούμε ότι το \xi είναι το κέντρο του διαστήματος , δηλαδή : \xi=-\dfrac{1}{2} .

Βρείτε - με πλήρη αιτιολόγηση - την σχέση που πρέπει να συνδέει τα a , b , ( a < b) , ώστε

για το προκύπτον \xi του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [\:a \:, \:b\:] , να ισχύει : \xi=\dfrac{a+b}{2} .
H συνθήκη f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) γράφεται, για \xi=\dfrac{a+b}{2},

\displaystyle{b+1+\sqrt {b^2+b+1} -a-1-\sqrt {a^2+a+1} = \left ( 1+ \dfrac {1}{2}\dfrac {2 \xi +1}{\sqrt { \xi ^2+\xi +1}}\right ) (b-a) }, ή

\displaystyle{\left (1+ \dfrac {b+a+1}{\sqrt {b^2+b+1}+\sqrt {a^2+a+1} \right ) (b-a) = \left ( 1+ \dfrac {1}{2}\dfrac {a+b+1}{\sqrt {  \left (\frac {a+b}{2}\right ) ^2+ \frac {a+b}{2}+1}}\right ) (b-a) }, ή

\displaystyle{  \dfrac {b+a+1}{\sqrt {b^2+b+1}+\sqrt {a^2+a+1}}= \dfrac {a+b+1}{2\sqrt {  \left (\frac {a+b}{2}\right ) ^2+ \frac {a+b}{2}+1}}}

Έπεται \boxed {a+b+1=0}

Υπόψη ότι από κυρτότητα οι παρονομαστές δεν είναι ποτέ ίσοι για a\ne b. Ας το δούμε λεπτομερέστερα: Θα είχαμε

\displaystyle{ \frac {1}{2}(\sqrt {b^2+b+1}+\sqrt {a^2+a+1}) = \sqrt { \left (\frac {a+b}{2}\right ) ^2+ \frac {a+b}{2}+1}}

Αλλά η συνάρτηση h(x)= \sqrt {x^2+x+1} έχει h''(x) = \dfrac {3}{4(x^2+x+1)^{3/2}} >0, δηλαδή είναι γνήσια κυρτή. Έτσι από Jensen έχουμε \frac {1}{2} (h(a)+h(b) ) \le h(\frac {a+b}{2}) με ισότητα αν και μόνον αν a=b, όπως θέλαμε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες